8 svar
110 visningar
naytte behöver inte mer hjälp
naytte Online 4889 – Moderator
Postad: 18 maj 2023 20:45 Redigerad: 18 maj 2023 20:45

Hur ska jag ta mig vidare?

Jag sitter här med ett uppgift på induktion men jag vet inte riktigt hur jag ska ta mig vidare:

"Visa med hjälp av induktion att 2nn2, {n+, n4}"

Jag har börjat med att testa basfallet n=4:

VL=24=16HL=42=16VLHL

Nu gör jag mitt induktionsantagande:

Antag sant för n=k

2kk2, {k+, k4}

Nu gäller det att med hjälp av induktionsantagandet visa att det även stämmer för n=k+1. Jag tänkte att man skulle kunna manipulera en av termerna för att få den att se ut som det vi vill. Jag började då med HL:

2k+2k+1(k+1)2

Härifrån kan jag dock inte komma någonstans. Jag testade att manipulera VL också istället och få det till 2k+12k2, men inte heller härifrån vet jag hur jag ska ta mig vidare.

En liten knuff i rätt riktning skulle uppskattas!

Laguna Online 30239
Postad: 18 maj 2023 21:10

Man kanske kan använda att k2 > 2k+1 för k > 2.

Man måste förstås bevisa det också.

Judit 492
Postad: 18 maj 2023 21:13

Denna är svår tycker jag (som håller på med samma matte), men börja med att 2k+1 = 2k・2 och börja sedan använda dig av induktionsantagandet.

feber01 101
Postad: 18 maj 2023 21:26

Kanske...:

2k+1=2k×2=2k+2k>k2+k2=k2+k×k>k2+4k

I sista steget ovan låtes k=4 eftersom beviset ska gälla för alla k≥4.

Kommer vi vidare härifrån?

Fermatrix 7841 – Fd. Medlem
Postad: 18 maj 2023 21:29

Alla tre inlägg är på rätt spår, men man är i princip i mål om man använder Lagunas observation.

naytte Online 4889 – Moderator
Postad: 18 maj 2023 21:36
Laguna skrev:

Man kanske kan använda att k2 > 2k+1 för k > 2.

Man måste förstås bevisa det också.

Hur ska man använda det här? Det var faktiskt en ledtråd i facit. Men jag förstår inte hur man ska använda det. Att bevisa det är inget problem, dock.

Fermatrix 7841 – Fd. Medlem
Postad: 18 maj 2023 21:40 Redigerad: 18 maj 2023 21:42

Eftersom k4k \geq 4

k24k>2k+1k^2 \geq 4k > 2k+1


Tillägg: 18 maj 2023 21:54

Om du fortfarande inte ser det

2k+1=2·2k2^{k+1}=2 \cdot 2^k

Med IA:

2·2k2k22 \cdot 2^k \geq 2k^2

Detta ger nu:

2k2(k+1)22k^2 \geq (k+1)^2

Kommer du vidare?

 

 

naytte Online 4889 – Moderator
Postad: 18 maj 2023 22:54

Ah, eftersom 2k+12k2(k+1)2, måste 2k+1(k+1)2.

Fermatrix 7841 – Fd. Medlem
Postad: 19 maj 2023 12:42 Redigerad: 19 maj 2023 12:43

Ja, men det blir enklare om du jobbar med 2k22k^2, så du efter expansion av HL, och olikheter ovan kan visa direkt att påståendet stämmer för alla heltal n4n\geq 4. :)

Svara
Close