Hur ser man att den startar i denna punkt Å slutar i en annan punkt? (Matematik/Universitet)

Standardfråga 1a: Har du ritat?

Vet du vad som menas med moturs respektive medurs?

Smaragdalena skrev:
Standardfråga 1a: Har du ritat?
Vet du vad som menas med moturs respektive medurs?

moturs är den den går emot klockan alltså positiv

och tvärtom.

och när y => 0 så betyder det (i cirkeln) att vi är befinner oss i första och andra kvadraten,

och om y => x, så betyder det att x också då är positiv, och alltså är vi i kvadrat 1 med dom två villkoren, men i den kvadrat 1, så finns ju dessa:

så varför är man då intresserad av pi/4 ? och inte aaa, de övriga? dessutom är pi/4 fel.. (varför? 1/sqrt2 är ju pi/4) för tydligen är pi/3 rätt.. why

Att $y\ge x$ betyder inte att x också är positivt, det betyder att det gäller för alla y som ligger på eller ovanför linjen y = x. Denna linje går genom tredje och första kvadranten (och genom origo).

Rita in linjen y = x i den nedre bilden. Du är intresserad av den del av enhetscirkeln som ligger i första kvadranten ovanför denna linje, och den del av enhetscirkeln som ligger i andra kvadranten.

Smaragdalena skrev:
Rita in linjen y = x i den nedre bilden. Du är intresserad av den del av enhetscirkeln som ligger i första kvadranten ovanför denna linje.

heej, såg du att jag upptaderade?

ok om y=x så är det en rätlinje genom origo,, och jag tycker att det fortfarande hamnar på pi/4.

Javisst hamnar det på vinkeln $\frac{\pi}{4}$ . Vilka koordinater har skärningspunkten mellan linjen y = x och enhetscirkeln (i första kvadranten, det finns en skärningspunkt i tredje kvadranten också men den är inte relevant här)?

Smaragdalena skrev:
Javisst hamnar det på vinkeln $\frac{\pi}{4}$ . Vilka koordinater har skärningspunkten mellan linjen y = x och enhetscirkeln (i första kvadranten)?

1/sqrt2, 1/sqrt2

Just precis. Jämför det med startkoordinaterna för kurvan.

Smaragdalena skrev:
Just precis. Jämför det med startkoordinaterna för kurvan.

meeen det är ju starten?? å de slutar i andra kvadraten (0,1) ?

heymel skrev:
Smaragdalena skrev:
Just precis. Jämför det med startkoordinaterna för kurvan.
meeen det är ju starten?? å de slutar i andra kvadraten (0,1) ?

Har du verkligen ritat en figur?

Om ja, visa den.

Om nej, gör det och visa den.

Yngve skrev:
heymel skrev:
Smaragdalena skrev:
Just precis. Jämför det med startkoordinaterna för kurvan.
meeen det är ju starten?? å de slutar i andra kvadraten (0,1) ?
Har du verkligen ritat en figur?
Om ja, visa den.
Om nej, gör det och visa den.

y ≥ 0 verkar rätt

y ≥ x är fel.

Enklast är kanske att först rita ut "likheterna till motsvarande olikheter", d.v.s linjerna

y = 0

och

y = x

Prova det!

Det svarta är väl en enhetscirkel (att den är lite skev spelar ingen roll.) Jag kan inte se linjen y=x i den här bilden.Vad betyder den blå ringen?

heymel skrev:
Yngve skrev:

Har du verkligen ritat en figur?
Om ja, visa den.
Om nej, gör det och visa den.

Jag tolkar din figur på följande sätt:

Det lilamarkerade området motsvarar villkoren $x^2+y^2\leq 1$ och $y\geq 0$ .

Det gulmarkerade området motsvarar villkoren $x^2+y^2\leq 1$ och $x\leq 0$ , alltså inte $y\geq x$

Den blåa ringen verkar avse skärningen mellan dessa områden, dvs det område där alla tre villkoren är uppfyllda.

Vad är figuren tänkt att illustrera?

Yngve skrev:
heymel skrev:
Yngve skrev:
Har du verkligen ritat en figur?
Om ja, visa den.
Om nej, gör det och visa den.
Jagctolkar din figur på.följande sätt:
Det lilanarkerade området motsvarar villkoren $x^2+y^2\leq 1$ och $y\geq 0$ .
Det gulmarkerade området motsvarar villkoren $x^2+y^2\leq 1$ och $x\leq 0$ , inte $y\geq x$
Den blåa ringen verkar avse skärningen mellan dessa områden, dvs det område där alla tre villkoren är uppfyllda.
Vad är figuren tänkt att illustrera?

nee då har jag faktinte ingen aning var man ser y => x

heymel skrev:
Yngve skrev:
heymel skrev:
Yngve skrev:
Har du verkligen ritat en figur?
Om ja, visa den.
Om nej, gör det och visa den.
Jagctolkar din figur på.följande sätt:
Det lilanarkerade området motsvarar villkoren $x^2+y^2\leq 1$ och $y\geq 0$ .
Det gulmarkerade området motsvarar villkoren $x^2+y^2\leq 1$ och $x\leq 0$ , inte $y\geq x$
Den blåa ringen verkar avse skärningen mellan dessa områden, dvs det område där alla tre villkoren är uppfyllda.
Vad är figuren tänkt att illustrera?

nee då har jag faktinte ingen aning var man ser y => x

Läs detta svar igen, där Smaragdalena beskriver hur villkoret $y\geq x$ ser ut i koordinatsystemet.

nee då har jag faktinte ingen aning var man ser y => x

Kort repetition av Ma2: Alla räta linjer kan skrivas på formen y = kx+m, där k är lutningen (= derivatan, men det lär man sig inte förrän i Ma3) och m = skärningspunkten med y-axeln. I ditt fall är k = 1 och m = 0, så y = x.

Smaragdalena skrev:
nee då har jag faktinte ingen aning var man ser y => x
Kort repetition av Ma2: Alla räta linjer kan skrivas på formen y = kx+m, där k är lutningen (= derivatan, men det lär man sig inte förrän i Ma3) och m = skärningspunkten med y-axeln. I ditt fall är k = 1 och m = 0, så y = x.

Vänta vänta här.... om vi har enhetscirkeln, och en rät linje som går igenom den, då kommer den gå igenom punkten $$\pm 1/sqrt2, \pm 1/sqrt2$$

alltså pi/4 ??????

heymel skrev:

Vänta vänta här.... om vi har enhetscirkeln, och en rät linje som går igenom den, då kommer den gå igenom punkten $$\pm 1/sqrt2, \pm 1/sqrt2$$
alltså pi/4 ??????

Nej. Linjen y = x går genom punkterna $(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}})$ och $(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})$ .

Så här (blå linje är $y=x$ ):

Jag har kompletterat med linjen $y = 0$ (grön).

-------------

Den rand som efterfrågas (gamma) är alltså den delen av den röda cirkeln $x^2+y^2=1$ som är på och över den blå linjen $y=x$ samt på och över den gröna linjen $y=0$ .

Yngve skrev:
heymel skrev:
Vänta vänta här.... om vi har enhetscirkeln, och en rät linje som går igenom den, då kommer den gå igenom punkten $$\pm 1/sqrt2, \pm 1/sqrt2$$
alltså pi/4 ??????
Nej. Linjen y = x går genom punkterna $(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}})$ och $(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})$ .
Så här (blå linje är $y=x$ ):
Jag har kompletterat med linjen $y = 0$ (grön).
-------------
Den rand som efterfrågas (gamma) är alltså den delen av den röda cirkeln $x^2+y^2=1$ som är på och över den blå linjen $y=x$ samt på och över den gröna linjen $y=0$ .

hahaha ja det jag menade ju....

så alltså integral*n är $\int_{\pi/4}^\pi$

Jag tror vi behöver klargöra hela lösningen lite mer:

Så här tolkar jag facits beteckningar:

Greens formel går att tillämpa på området som innesluts av $\gamma, \gamma_1$ och $\gamma_2$ eftersom singulariteten i origo ligger utanför området. Då de partiella derivatorna är lika med varandra ger Greens formel:

$\displaystyle \int_{\gamma-\gamma_1+\gamma_2} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}=0$

Notera att $\gamma_1$ får ett minustecken framför sig eftersom den går moturs (och med Greens formel genomlöps den medurs). Sedan beräknar de att:

$\displaystyle \int_{\gamma_2} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}=0$

Eftersom $\gamma_2$ -integralen blev noll vet vi alltså att:

$\displaystyle\int_{\gamma-\gamma_1}\mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}=0$

Om vi nu adderar på $\gamma_1$ integralen får vi:

$\displaystyle \int_{\gamma-\gamma_1} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}+\int_{\gamma_1} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}=0+\int_{\gamma_1} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$

vilket ger:

$\displaystyle \int_{\gamma}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{\gamma_1}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$

Det enda som kvarstår är alltså att beräkna $\gamma_1$ -integralen. Detta görs genom att parametrisera ellipsen $x^2+3y^2=1$ (som vi kommer ihåg definierar segmentet $\gamma_1$ ) så att man får:

$\mathbf{r}(t)$ $=(\cos t,\dfrac{1}{\sqrt{3}}\sin t)$

Eftersom

$\mathbf{r}(\dfrac{\pi}{3})=(\cos\dfrac{\pi}{3},\dfrac{1}{\sqrt{3}}\sin\dfrac{\pi}{3})=(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2})$

och

$\mathbf{r}(\pi)=(-1,0)$

blir gränserna $\pi / 3$ och $\pi$

heymel skrev:

hahaha ja det jag menade ju....
så alltså integral*n är $\int_{\pi/4}^\pi$

Du tänker rätt men skriver fel.

Du skriver som om integrationsvariabeln är en vinkel och som om gränserna är pi/2 och pi.

Men integrationsvägen är en kurva som går längs med enhetscirkeln från punkten $(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})$ till punkten $(-1, 0)$ .

Du slarvar med dina begrepp och beteckningar, vilket troligtvis har givit eller kommer att ge poängavdrag på tentor och liknande.