Hur ser en dubbelrot ut?

Vid en dubbelrot sammanfaller skärningen med x-axeln med att derivatan är 0. Vid -3 skär grafen x-axeln men samtidigt så utgör detta ett lokalt maximum varför det är en dubbelrot. Vid x = 2 så skär kurvan x-axeln men derivatan är inte 0.

Testa gärna om detta stämmer genom att konstruera några funktioner med dubbelrötter som

(x + 1)^2(x+2)

och se att derivatan är 0 när x = dubbelrotens värde

EDIT: Även rötter av högre ordning såsom trippelrötter har denna egenskap så om man ska kunna avgöra om en rot är en dubbel- trippel-, eller kvadrupelrot så behöver man titta på fler egenskaper hos kurvan.

En dubbelrot tangerar x-axeln, men utan att skära igenom den. Eftersom x = 2 skär rätt igenom x-axeln (y-värdena i närheten men på olika sida av nollstället har olika tecken), kan det inte vara en dubbelrot. Däremot för x = (-3) har y-värdena i närheten av nollstället, både till höger och vänster, har samma tecken, skulle det kunna vara en dubbelrot. Om du är nyfiken, prova att flytta nollstället uppåt respektive nedåt något, hittar du två rötter på något sätt? Då är det en dubbelrot.

Utifrån denna förklaring vilka nollställen i följande figur ser ut att vara dubbelrötter?

Tack för era svar. Jag misstänkte att det var ungefär så det hängde ihop.

Skulle säga att punkt A och punkt D är dubbelrötter. Eventuellt även punkt C, men efter att ha läst Smutstvätts svar så lutar jag åt att terrasspunkter inte är dubbelrötter, eller? Bara max- och min-punkter?

Läs svaret från SeriousCephalopod.

Se sedan t.ex på (x-1)^4 som ju ser likadan ut som en dubbelrot men är en kvadruppelrot.
C kanske är en kanske en trippelrot. Men det är inte säkert.

Funktionen är $(x +2)^2 (x+1)x^3 (x-1)^2 (x-2)$ så A och D är dubbelrötter och C är en trippelrot. 

"Multirötter" som korresponderar mot en terasspunkt har alltid udda ordning och kan alltså vara något av  x^3, x^5, x^7, ... men man kan inte avgöra vilken bara baserat på att det är en terasspunkt. 

De som är mini- eller maximipunkter korresponderar mot jämna ordningar, såsom x^2, x^4, x^6 men man behöver mer info för att skilja mellan dem.

Bara för att reda ut en del begrepp:

• Ett polynom P(x) kan ha ett eller flera reella nollställen. En del av dessa nollställen kan vara multipla nollställen.
• En ekvation P(x) = 0 kan ha en eller flera reella rötter. En del av dessa rötter kan vara multipla rötter (dubbelrot, trippelrot o.s.v.).

Ett polynom har alltså inga rötter och en ekvation har inga nollställen.

Nu var jag slarvig själv men det där kan väl inte vara rätt Yngve. Man kan väl visst säga meningar på formen  "-3 är en rot till polynomet P(x)"

Jag är i lägret som säger att polynom/funktioner har rötter, ekvationer har lösningar, och grafer har skärningspunkter med xaxeln. Nollställe är i min terminologi en synonym till rot men som kan användas lite slarvigare även på ekvationer och grafer.

Men borde kanske strama upp och underbygga valen.

Nej, men du kan säga att -3 är en rot till ekvationerna  P(x) = 0 eller P(x) = 3, och naturligtvis att P(x) är ett polynom. Ett polynom innehåller inget likhetstecken.

Det är liksom det som är poängen i mina ögon. I samma stund som vi skrivit p(x)=0 kan vi lika gärna säga "lösning till (polynom)ekvationen". Medan uttrycket "rot till polynom p" är bärande av meningen att talet är en lösning till ekvationen p(x) = 0. 

Detta verkar vara definitionen wolfram mathworld utgår från iaf

http://mathworld.wolfram.com/PolynomialRoots.html

Vilka kör på er definition? (Kan ju vara en sån där grej där flera definitioner flyter runt såsom den inklusiva och exklusiva definitionen av rektangel)

I gymnasieböckerna skiljer man i alla fall mellan en ekvation och ett polynom. Man få t ex multiplicera en ekvation med en konstant (på båda sidor, förstås) när man löser den, men om man multiplicerar ett polynom med en konstant så förändrar man dess värde.

Jo det såklart, men gällande begreppet rot och hur man använder det.

"Rot" och "lösning till ekvation" är synonymer. Ett polynom har ingen lösning (men det kan ha nollställen).

Men det där är svenska wikipedia och dess enda källa är wolfram mathworld som inte säger att de är synonymer utan använder min definition...

Edi. Jag var för snabb. Källan är ok 

Vi verkar vara överens om följande:

1. En ekvation $f(x)=0$ kan ha noll eller flera lösningar. Dessa lösningar kallas ekvationens rötter.
2. En ekvation har inga nollställen.
3. Ett uttryck med en obekant $g(x)$ kan ha noll eller flera nollställen. Om $g(x)$ har nollstället $x_n$ så gäller att $g(x_n)=0$ och tvärtom.

Följande verkar vi inte vara överens om:

• Ett uttryck med en obekant $g(x)$ har inga rötter.

------------

Vi pratade tidigare mest om polynom, men för mig gäller detta generellt för uttryck och jag tycker att det känns tydligare då. Till exenpel:

• Jag tycker att utsagan "$e^x$ saknar rötter" är felformulerad. Däremot gillar jag "$e^x$ saknar nollställe". 
• Jag tycker att utsagan "42 saknar rötter" är felformulerad. Däremot är utsagan "42 saknar nollställe" korrekt, om än banal.