Hur räknar man ut det här?
Antag att den första insättningen sker i början på januari.
Då sker den 12:e insättningen i början på december.
Efter den har Lisa 12 000 kr på kontot.
Ränta får hon först vid årsskiftet.
Hej och välkommen hit.
Det här är en geometrisk summa.
De allra nyaste pengarna har man nyss satt in, så de är värda 1000 kr.
Pengarna från förra månaden har givit lite ränta, så de är värda 1000kr * k
...från förrförra månaden är värda 1000kr * k^2
...
De äldsta pengarna är värda 1000kr * k^11
Kan du summera det?
Vad är k?
Olyckligt med ett facit som inte stämmer med uppgiften...
“Årsräntesats 2,0%” betyder att räntan sätts in på kontot vid varje årsskifte,
om inget annat sägs. Och här sägs inget annat.
Vid årsskiftet har
den första insättningen stått på kontot i 12 mån
den andra insättningen stått på kontot i 11 mån
den tredje insättningen stått på kontot i 10 mån
...
den elfte insättningen stått på kontot i 2 mån
den tolfte insättningen stått på kontot i 1 mån
Då får Lisa den sammanlagda räntan på alla 12 insättningarna.
Det är samma ränta som hon skulle ha fått på 1000 kr som stått
på kontot i (12 + 11 + ... + 1 ) = 78 månader. [aritmetisk serie]
Vi vet att 12 månaders ränta på 1000 kr är 0,02 · 1000 = 20 kr
För Lisa blir därför första årets ränta 20 · 78/12 = 130 kr
Hur stor är bankens ränteskuld till Lisa när hon gör den 12:te insättningen?
Ja, den matematiker som skrev uppgiften har nog sällan varit på banken.
Men vi ska väl inte skrämma bort dennise2, utan försöka lösa uppgiften, så som den verkar vara tänkt (dvs som man inte får ränta i verkligheten)
Första avsnittet i läroboken, Exponent 3b (Gleerups), behandlar geometrisk summa, regelbundet sparande och annuitetslån. Exemplen på sparande avser enbart årsvis kapitalisering av räntan (dvs årets ränta tillförs kontot i slutet på varje år). “Regelbundna insättningar på ett bankkonto med konstant räntesats ger upphov till en [geometrisk talföljd].” står det på inledningssidan.
Därefter följer uppgiften om Lisas sparande utan ytterligare kommentarer. Som den är formulerad blir svaret 12 000 kr (se #2). Facit till just denna uppgift saknas i boken men finns säkert i det digitala elevmaterialet.
Tänker man sig i stället att räntan kapitaliseras månadsvis (dvs att månadens ränta sätts in på kontot i slutet på varje månad), blir svaret svaret förstås något högre. För övnings skull kan det ju vara intressant att ställa upp den beräkningen, så vi får anledning att använda oss av en geometrisk summa, när det nu är det som kapitlet handlar om :-)
Bubo antyder ovan hur det kan ske (se #3)
