Hur räknar man det?

Du är redan färdig. "2 upphöjt till 1/5" är detsamma som "5:te rot ur 2".

Tack Taylor! Jag är inte färdig. För det sista svaret är från nätet som jag har skrivit. Och jag vill veta hur det blir så. Kan du också snälla förklara de sista talen om du har tid, för jag har många uppgifter som är skrivna nästan samma sätt?

$x^5=2\Rightarrow {\left(x^5\right)}^{\frac{1}{5}}={\left(2^1\right)}^{\frac{1}{5}}$ Det som händer nu är att vi får x ensamt i vänsterledet, därför höjer man upp med 1/5. ${\left(x^5\right)}^{\frac{1}{5}}=x^{5·\frac{1}{5}}=x^{\frac{5}{5}}=x^1=x$ Man höjer upp VL och HL på följande sätt för att få x ensamt: $x^a=k\Rightarrow {\left(x^a\right)}^{\frac{1}{a}}={\left(k\right)}^{\frac{1}{a}}\Rightarrow x=(k{)}^{\frac{1}{a}}$

Om det var så du menade. 

Eller menade du bara hur man i huvudet ska räkna ut tal som ${15}^{\frac{1}{4}}$? 

Hej Korra Tack för hjlpen! Ja, det som vill veta är inte hur lösas X. Det är hur lösas vad X-et lika med. till ex om du kollar i posten kan du se att jag hittat från nätet att x-et =2^1/5  x=1,15. Så du kan se det sista delen av posten att jag vill veta hur man löser när talet är till ex. 15^1/7, 5^3/2 eller som  du skrivit din sista rad.

Tack så mycket

Essasson skrev:

Hej Korra Tack för hjlpen! Ja, det som vill veta är inte hur lösas X. Det är hur lösas vad X-et lika med. till ex om du kollar i posten kan du se att jag hittat från nätet att x-et =2^1/5  x=1,15. Så du kan se det sista delen av posten att jag vill veta hur man löser när talet är till ex. 15^1/7, 5^3/2 eller som  du skrivit din sista rad.

 

Tack så mycket

Ja okej, du vill veta hur man räknar ut tal som inte har heltalsexponenter, t.ex $2^{\frac{1}{5} }$Jag vet inte hur man gör det, jag har inte riktigt funderat på det och alltid bara slagit det på räknaren. Jag har inte heller förstått hela konceptet med såna tal, men jag tror att någon annan här säkert kan det. 

Tack så mycket Korra! ja, det är så rar i boken, så jag också såg hur det blir i räknaren, men förstår inte varför det är så. Tack att du hjälpte mig.

En gång i tiden använde man logaritmtabeller. Några hårt arbetande fantaster hade en gång räknat ut logaritmen av t. ex. talen mellan 1 och 10 med sex decimaler, i steg om t. ex. 0,0001. De hade diverse bra formler och metoder för arbetet. Sedan interpolerade man när talet man ville logaritmera låg mellan två i tabellen. 

Essasson skrev:

Tack så mycket Korra! ja, det är så rar i boken, så jag också såg hur det blir i räknaren, men förstår inte varför det är så. Tack att du hjälpte mig.

Alltså det jag vet är att om man har $2^{\frac{1}{5}}$då är det lika med femte roten ur 2, alltså vad ska man multiplicera med sig självt 5 gånger för att få 2, det är  $2^{\frac{1}{5} }=\sqrt[5]{2}$

Denna$$definition $$kan $$visas$$såhär:$$\begin{gathered} 2^1=2^{1/5}·2^{1/5}·2^{1/5}·2^{1/5}·2^{1/5} \\ {2}^{1/5}=\sqrt[5]{2} \end{gathered}$$

Korra! tack så myket för det. Men vet du vet du vad $\sqrt[5]{2=?} då$. Hur räknar man det då?

Essasson skrev:

Korra! tack så myket för det. Men vet du vet du vad $\sqrt[5]{2=?} då$. Hur räknar man det då?

Nix, jag kan inte räkna ut det i huvudet. Jag vet inte ens vart jag ska börja. :) 

Men TITTA här! 

Nästa uppfinning efter logaritmtabellerna var räknestickan, som alla tekniker hade i bröstfickan i en stor del av 1900-talet. Man fick inte sex decimalers noggrannhet, men tillräckligt för konstruktionsarbete. 

Du är inne på djupa ting!
Kommer du håg vad som sades om tal i början av kursen?

Vi har heltal:  0, 1, 2, 3, ....
naturliga tal:  ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ....
och s k rationella tal, som kan skrivas  som  m/n  där m och n är naturliga tal, dvs alla bråk. Heltal och naturliga tal är också rationella tal  (t ex  5 = 5/1). Rationell betyder förnuftig.  

Sedan blev det kris, när man hittade helt OK tal, som inte gick att skriva som kvoten mellan två naturliga tal.  Ett sådant tal är $\sqrt{2}$. Det är ju längden på diagonalen i en kvadrat med sidan 1, lösning till ekvationen $x^2=1^2+1^2$, alltså ett helt OK tal.  Dessa tal kom att kallas irrationella tal  (oförnuftiga tal) för att man inte riktigt begrep sig på dem. Så kallas de fortfarande :-)

Ditt tal är just ett sådant tal.

Det är klart att det måste finnas ett tal som ger 5 om man multiplicerar det med sig själv fem gånger! Men det talet går inte heller att skriva .som  m/n  där m och n är naturliga tal. Man kan prova sig fram för att se ungefär hur stort det är. Kolla t ex att 1,14 är för litet och 1,15 för stort. Så där får man hålla på, en decimal i taget...

Typiskt jobb för dator!

Min dator säger 1.1487 .
Ber jag om 10 siffror får jag 1.148698355.
Ber jag om 100 siffror får jag 1.148698354997035006798626946777927589443850889097797505513711118493603206253513056811473113011508474.

Det tar aldrig slut. Det finns heller ingen periodicitet i decimalerna (periodiskt återkommande sekvenser) som t ex för 1/3 = 0,3333333...  eller 1/7 = 0.14285714285714285714... där sekvensen 142857 upprepas hela tiden. Så är det för rationella tal, men inte för irrationella tal

Du har alltså kommit fram till ett irrationellt tal, $\sqrt[5]{2}$ och det kan inte uttryckas exakt vare sig som decimalbråk eller som allmänt bråk (typ m/n). Men multiplicerar du det med sig själv 5 gånger så blir det 5. Exakt!

Tillägg: 30 jul 2022 16:02

Slutet ska förstås lyda så här:
Men multiplicerar du det med sig själv 5 gånger så blir det 2. Exakt!

På datorer och miniräknare kan man använda t. ex. en ekvationslösningsmetod som heter Newton-Raphson, men jag tror att det är vanligare att man använder någonting som är snabbt att beräkna, och tillräckligt noggrant, som en kvot av polynom. Hur man kommer fram till dessa polynom vet jag inte. 

Tack så mycket Arktos! Men jag vet att det är så sjupa ting, men det enda sak jag vill är inte så djupt. Det är bara så nedan.

Hur räknar man

x=2^1/5

x=1.15.

Kan du se att där att 2^1/5 har blivit 1.15 ungefär. Så min fråga är ''Hur räknar man 2^1/5 för att man göra det till 1.15?''

Eller ''hur räknar man $\sqrt[5]{2}$?

Till ex. 8²=64, 7⁵=16807, 2⁰=1 sv. Men jag vet inte hur man räknar 5^0.4, eller 4^4/2, $\sqrt[2]{6}$.

Föstår du nu? för jag försöker lösa andra uppgifter utan att jag använda räknare. 

Essasson skrev:

Tack så mycket Arktos! Men jag vet att det är så sjupa ting, men det enda sak jag vill är inte så djupt. Det är bara så nedan.

Hur räknar man

x=2^1/5

x=1.15.

Kan du se att där att 2^1/5 har blivit 1.15 ungefär. Så min fråga är ''Hur räknar man 2^1/5 för att man göra det till 1.15?''

Eller ''hur räknar man $\sqrt[5]{2}$?

Till ex. 8²=64, 7⁵=16807, 2⁰=1 sv. Men jag vet inte hur man räknar 5^0.4, eller 4^4/2, $\sqrt[2]{6}$.

Föstår du nu? för jag försöker lösa andra uppgifter utan att jag använda räknare. 

Det är endast ett fåtal sådana uttryck som enkelt låter sig beräknas manuellt.

Till exempel

• $32^{\frac{1}{5}}=2$ eftersom $2^5=32$
• $27^{\frac{1}{3}}=3$ eftersom $3^3=27$
• $25^{\frac{1}{2}}=5$ eftersom $5^2=25$

och så vidare.

Men det finns inget enkelt sätt att beräkna till exempel $5^{\frac{1}{7}}$ eftersom det inte är lätt att hitta ett tal $x$ som har den egenskapen att $x^7=5$.

Om du stöter på ett sådant tal så är det OK att använda räknaren eftersom ingen kan förvänta sig att du ska kunna beräkna det manuellt.

Essasson skrev:

...

Men jag vet inte hur man räknar 5^0.4, eller 4^4/2, $\sqrt[2]{6}$.

...

$4^{\frac{4}{2}}=4^2=16$

Yngve skrev:

Essasson skrev:

...

Men jag vet inte hur man räknar 5^0.4, eller 4^4/2, $\sqrt[2]{6}$.

...

$4^{\frac{4}{2}}=4^2=16$

Någon kanske kan förklara hur datorn/miniräknaren gör och då blir det säkert mer begripligt. Alltså varför man ej kan räkna det för hand menar jag.

Tydligen skrev jag med osynligt bläck.

Korra skrev:

Yngve skrev:

Visa föregående citat

Essasson skrev:

...

Men jag vet inte hur man räknar 5^0.4, eller 4^4/2, $\sqrt[2]{6}$.

...

$4^{\frac{4}{2}}=4^2=16$

Någon kanske kan förklara hur datorn/miniräknaren gör och då blir det säkert mer begripligt. Alltså varför man ej kan räkna det för hand menar jag.

Jag har för mig att de flesta beräknar kvadratrötter med antingen Newton Raphson o.s.v. eller serie-utveckling. Men jag var väl inte superintresserad i kursen, så jag kan vara ute och cykla.

Laguna skrev:

Tydligen skrev jag med osynligt bläck.

Haha, förlåt! xD