Hur räknar man arean under två grafer, (Matematik/Matte 3/Integraler)

Kan du lägga upp en bild på uppgiften? Det du skrivit hittills ser bra ut. Nu behöver du räkna ut hur du ska integrera, vilket är varför jag gärna ser en bild på uppgiften, så blir det lättare att hålla koll på de olika bitarna.

Du har hoppat över det allra första steget: Rita en bild.

Na5a skrev:

De funktioner du skrivit på papperet stämmer inte med de du skrev i ditt första inlägg.

Ja,kom på det nu. Ska ändra i inlägget

update: det går inte att ändra, men det är funktionerna på pappret som gäller.

Na5a skrev:
Ja,kom på det nu. Ska ändra i inlägget

update: det går inte att ändra, men det är funktionerna på pappret som gäller.

Parabeln är brantare än din skiss, men det spelar inte så stor roll.

Det som spelar roll är att problemet är otydligt formulerat. Det skulle lika gärna kunna vara arean mellan linjen och parabeln som avses (grönmarkerat)

Yngve skrev:
Na5a skrev:
Ja,kom på det nu. Ska ändra i inlägget

update: det går inte att ändra, men det är funktionerna på pappret som gäller.
Parabeln är brantare än din skiss, men det spelar inte så stor roll.
Det som spelar roll är att problemet är otydligt formulerat. Det skulle lika gärna kunna vara arean mellan linjen och parabeln som avses (grönmarkerat)

Jaha, men denna handlar om den skuggade arean som begränsas av x-axeln och de två funktionerna. Jag har missat att skriva det på pappret,men jag tror att det står i inlägget

Men vad är nästa steg för att lösa uppgiften?

Ställa upp det som en summa av två integraler.

Smaragdalena skrev:
Ställa upp det som en summa av två integraler.

Det är där jag kör fast, hur ska jag göra det?

Nu ser du att du att den totala arean är en summa av två areor. En under parabeln från 2 till skärningspunkten och en från skärningspunkten till 10. Du måste alltså beräkna 2 integraler.

AndersW skrev:
Nu ser du att du att den totala arean är en summa av två areor. En under parabeln från 2 till skärningspunkten och en från skärningspunkten till 10. Du måste alltså beräkna 2 integraler.

Såhär?

Na5a skrev:

Jaha, men denna handlar om den skuggade arean som begränsas av x-axeln och de två funktionerna. Jag har missat att skriva det på pappret,men jag tror att det står i inlägget

Det gröna området begränsas också av de två graferna och x-axeln (om än i en enda punkt). Var det en bild med i ursprungsfrågan?

Yngve skrev:
Na5a skrev:
Jaha, men denna handlar om den skuggade arean som begränsas av x-axeln och de två funktionerna. Jag har missat att skriva det på pappret,men jag tror att det står i inlägget
Det gröna området begränsas också av de två graferna och x-axeln (om än i en enda punkt). Var det en bild med i ursprungsfrågan?

Ja, den är ungefär identisk med min

Nej, i detta fall blir det en integral av vardera funktionen.

Na5a skrev:
Ja, den är ungefär identisk med min

OK vad bra. Då är det bara att räkna på.

Summera de två integralerna enligt tipset från AndersW, dvs dela upp det skuggade området i två enligt nedan, integrera fram varje area för sig och summera dem.

Men du får inte avrunda skärningspunktens x-koordinat.

Nedan:

Yngve skrev:
Na5a skrev:
Ja, den är ungefär identisk med min
OK vad bra. Då är det bara att räkna på.
Summera de två integralerna enligt tipset från AndersW. Men du får inte avrunda skärningspunktens x-koordinat.

Hur gör jag då? Det blir många decimaler då

AndersW skrev:
Nej, i detta fall blir det en integral av vardera funktionen.

Hur kan jag förklara att det finns två areor, ska jag rita ut det på pappret?

Na5a skrev:

Hur kan jag förklara att det finns två areor, ska jag rita ut det på pappret?

Jag har uppdaterat mitt senaste svar, läs det igen.

Na5a skrev:

Hur gör jag då? Det blir många decimaler då

Om det inte framgår av uppgiften att du ska svara med ett närmevärde så ska du göra dina beräkningar med exakta värden.

$x = 1, 9 + \sqrt{1, 61}$ är ett exakt värde.

Yngve skrev:
Na5a skrev:
Hur gör jag då? Det blir många decimaler då
Om det inte framgår av uppgiften att du ska svara med ett närmevärde så ska du göra dina beräkningar med exakta värden.
$x = 1, 9 + \sqrt{1, 61}$ är ett exakt värde.

Blir det inte svårare då när man sätter in det i den primitiva funktionen, måste jag använda mig av det exakta värdet?

Na5a skrev:

Blir det inte svårare då när man sätter in det i den primitiva funktionen, måste jag använda mig av det exakta värdet?

Jo det blir krångligare, men det är inte ett tillräckligt bra skäl för att börja avrunda. Kan du ta en bild av uppgiften och ladda upp?

Som Yngve säger, du måste använda det exakta värdet. Dock får det mig att fundera om funktionerna verkligen är rätt då det brukar vara "snälla" värden man har som gränser till integralen.

Det här är en övningsuppgift som vår lärare hittade på till oss, det förklarar varför det blir många decimaler :)

kom just på en liten sak, varför ska jag beräkna skärningspunkten för graferna?

Därför att du får två integraler: Den ena blir från 2 till skärningspunkten av parabeln och den andra blir från skärningspunkten till 10 av den räta linjen

AndersW skrev:
Därför att du får två integraler: Den ena blir från 2 till skärningspunkten av parabeln och den andra blir från skärningspunkten till 10 av den räta linjen

Hur kan jag motivera detta när jag beräknar skärningspunkten?

Na5a skrev:
Det här är en övningsuppgift som vår lärare hittade på till oss, det förklarar varför det blir många decimaler :)

Men sa läraren något om avrundningar eller exakta värden?

Na5a skrev:

Hur kan jag motivera detta när jag beräknar skärningspunkten?

Genom att markera de två områdena i din figur, ungefär som jag visade i detta inlägg.

Det första steget för att lösa uppgiften är att beräkna funktionens nollställen så att jag kan veta i vilket intervall arean ska beräknas. För den räta linjen ställer jag upp ekvationen 10 subtraherad med x är lika med 0. Jag adderar x på båda leden så att jag får att x är lika med 10. Detta betyder att den räta grafen har ett nollställe då x = 10. Detta kan jag rita in i min skiss för att göra det tydligare. Sedan beräknar jag även nollställen för min parabel. Jag ställer upp ekvationen 5x2 -20x + 20 = 0. Här behöver jag använda pq-formeln, men för att göra det måste koefficienten framför x2 termen vara 1, detta fås genom att jag dividerar med 5 på båda leden. Då får jag att x2 -4x +4 = 0. x = -4 dividerat med 2 adderat/subtraherat med roten ur kvadraten av -4 dividerat med 2 subtraherat med 4. Gör jag beräkningarna får jag att x = 2 adderat/subtraherat med roten ur 4 -4, således är x = 2 en dubbelrot. X=2 är nollstället på parabeln. Av detta vet jag att arean som ska beräknas är mellan 2 och 10.

Det andra steget är att hitta skärningspunkten då parabolen och linjen korsar varandra eftersom ………. Jag ställer då upp ekvationen att 5x2 - 20x + 20 = 10 -x. Därefter adderar jag x samt subtraherar med 10 på de båda leden, då får jag att 5x2 - 19x + 10 = 0 Jag använder mig av pq-formeln, men först divider jag alla led med 5. Då blir det x2 - 3,8 + 2 =0. x = 1,9 adderat/subtraherat med roten ur 3,61 subtraherat med 2. Då får jag att x1 = 3 och x2 = 0,63. x2 behöver jag inte eftersom den inte finns med i intervallet där arean ska beräknas.

Nu kan jag se att arean av området är summan av två areor tillsammans. Jag ställer då upp integralen av fx( andragradskurvan) subtraherat med gx (räta linjen) från 2 till 3. Jag sätter f(x) subtraherat med gx eftersom fx är den kurvan som ligger högre vid det intervallet. Denna integral beräknar arean av den första delen. För att beräkna den andra ställer jag upp integralen gx subtraherat med fx från 3 till 10. Summan av dessa integraler ger arean av det sökta området.

För att kunna beräkna summan så behöver jag ta ut den primitiva funktionen. För att få den primitiva funktionen för fx gör jag att jag adderar exponenten vid x2 med 1 så att det blir x3 och sedan dividerar 5x3/3 sen så gör jag samma sak med x adderar exponenten med 2 så att det blir x i kvadrat och dividerar med 2 då får jag -20x och för 20 multiplicerar jag med x. Den primitiva funktionen för f(x) = 5x3/3 -20x + 20x. Därefter tar jag ut den primitiva funktionen för g(x) genom att multiplicera 10 med x och att addera exponent vid x så att det blir x i kvadrat och dividerar det med 2. Den primitiva funktionen för g(x) blir 10x-x2/2.

Jag sätter dessa primitiva funktioner i klamrar och beräknar värdet:

[ 5x3/3 -20x + 20x - 10x-x2/2]23 + [10x-x2/2 - 5x3/3 -20x + 20x]310

Därefter sätter jag in den övre gränsen istället för x och gör samma sak med den nedre i respektive klam. Jag subtrahera värdet av dessa två och sedan adderar jag de två klammernas värde. Då får jag arean för det sökta området.

Vad tyck om min lösning?

Är den fullständing, relevant och strukturerard?

Beskrivs och föklarars tankegångarna på ett bra sätt?

Används den matematiska terminolgion på ett bra sätt?

Vad kan förbättras?

Obs: Jag vet inte hur jag ska motivera till att varför jag beräknar skärningspunkten. Läraren sa till mig att avrunda till 3.

Na5a skrev:

...
Nu kan jag se att arean av området är summan av två areor tillsammans. Jag ställer då upp integralen av fx( andragradskurvan) subtraherat med gx (räta linjen) från 2 till 3. Jag sätter f(x) subtraherat med gx eftersom fx är den kurvan som ligger högre vid det intervallet. Denna integral beräknar arean av den första delen. För att beräkna den andra ställer jag upp integralen gx subtraherat med fx från 3 till 10. Summan av dessa integraler ger arean av det sökta området.

...

Det här stämmer inte.

Det du då räknar ut är summan av arean av dessa områden, fast med omvänt tecken:

Detta eftersom parabeln ligger under den räta linjen mellan x = 2 och x = 3 samt över den räta linjen mellan x = 3 och x = 10. Du skrev tvärtom.

-------------------------------

Det du egentligen ska räkna ut är följande:

Arean av det skuggade området är $A_1+A_2$ , där

$A_1=$ $\int_{2}^{3} (5 x^{2} 20 x + 20) d x$ och $A_2=$ $\int_{3}^{10} (10 - x) d x$

Yngve skrev:
Na5a skrev:

...
Nu kan jag se att arean av området är summan av två areor tillsammans. Jag ställer då upp integralen av fx( andragradskurvan) subtraherat med gx (räta linjen) från 2 till 3. Jag sätter f(x) subtraherat med gx eftersom fx är den kurvan som ligger högre vid det intervallet. Denna integral beräknar arean av den första delen. För att beräkna den andra ställer jag upp integralen gx subtraherat med fx från 3 till 10. Summan av dessa integraler ger arean av det sökta området.

...
Det här stämmer inte.
Det du då räknar ut är summan av arean av dessa områden, fast med omvänt tecken:
Detta eftersom parabeln ligger under den räta linjen mellan x = 2 och x = 3 samt över den räta linjen mellan x = 3 och x = 10. Du skrev tvärtom.
-------------------------------
Det du egentligen ska räkna ut är följande:
Arean av det skuggade området är $A_1+A_2$ , där
$A_1=$ $\int_{2}^{3} (5 x^{2} 20 x + 20) d x$ och $A_2=$ $\int_{3}^{10} (10 - x) d x$

Nu kan jag se att arean av området är summan av två areor tillsammans. Jag ställer då upp integralen av fx( andragradskurvan) ) från 2 till 3. Jag får reda på area 1 genom detta, för area 2 ställer jag även upp en integral för att beräkna arean. Detta gör jag genom att ställa ipp integralen gx (räta linjen) från 3 till 10.

För att kunna beräkna summan så behöver jag ta ut den primitiva funktionen för respektive funktion. För att få den primitiva funktionen för fx gör jag att jag adderar exponenten vid x2 med 1 så att det blir x3 och sedan dividerar 5x3/3 sen så gör jag samma sak med x adderar exponenten med 2 så att det blir x i kvadrat och dividerar med 2 då får jag -20x och för 20 multiplicerar jag med x. Den primitiva funktionen för f(x) = 5x3/3 -20x + 20x. Därefter tar jag ut den primitiva funktionen för g(x) genom att multiplicera 10 med x och att addera exponent vid x så att det blir x i kvadrat och dividerar det med 2. Den primitiva funktionen för g(x) blir 10x-x2/2.

Jag sätter dessa primitiva funktioner i klamrar och beräknar värdet:

[ 5x3/3 -20x + 20x]+ [10x-x2/2]

Därefter sätter jag in den övre gränsen istället för x och gör samma sak med den nedre i respektive klam. Jag subtrahera värdet av dessa två och sedan adderar jag de två klammernas värde. Då får jag arean för det sökta området.

Vad tyck nu?

Na5a skrev:

Nu kan jag se att arean av området är summan av två areor tillsammans. Jag ställer då upp integralen av fx( andragradskurvan) ) från 2 till 3. Jag får reda på area 1 genom detta, för area 2 ställer jag även upp en integral för att beräkna arean. Detta gör jag genom att ställa ipp integralen gx (räta linjen) från 3 till 10.

För att kunna beräkna summan så behöver jag ta ut den primitiva funktionen för respektive funktion. För att få den primitiva funktionen för fx gör jag att jag adderar exponenten vid x2 med 1 så att det blir x3 och sedan dividerar 5x3/3 sen så gör jag samma sak med x adderar exponenten med 2 så att det blir x i kvadrat och dividerar med 2 då får jag -20x och för 20 multiplicerar jag med x. Den primitiva funktionen för f(x) = 5x3/3 -20x + 20x. Därefter tar jag ut den primitiva funktionen för g(x) genom att multiplicera 10 med x och att addera exponent vid x så att det blir x i kvadrat och dividerar det med 2. Den primitiva funktionen för g(x) blir 10x-x2/2.

Jag sätter dessa primitiva funktioner i klamrar och beräknar värdet:

[ 5x3/3 -20x + 20x]+ [10x-x2/2]
Därefter sätter jag in den övre gränsen istället för x och gör samma sak med den nedre i respektive klam. Jag subtrahera värdet av dessa två och sedan adderar jag de två klammernas värde. Då får jag arean för det sökta området.
Vad tyck nu?

Personligen tycker jag att det är på tok för mycket text.

Har du verkligen blivit ombedd att beskriva varje litet steg med ord?

Jag skulle föredra att du visade dina uträkningar med matematiska symboler, det är mycket lättare att hänga med då.

-----------------------

Jag hittade ett fel, du har fel exponent på $x^2$ -termen i din primitiva funktion till andragradsuttrycket.

Yngve skrev:
Na5a skrev:
Nu kan jag se att arean av området är summan av två areor tillsammans. Jag ställer då upp integralen av fx( andragradskurvan) ) från 2 till 3. Jag får reda på area 1 genom detta, för area 2 ställer jag även upp en integral för att beräkna arean. Detta gör jag genom att ställa ipp integralen gx (räta linjen) från 3 till 10.

För att kunna beräkna summan så behöver jag ta ut den primitiva funktionen för respektive funktion. För att få den primitiva funktionen för fx gör jag att jag adderar exponenten vid x2 med 1 så att det blir x3 och sedan dividerar 5x3/3 sen så gör jag samma sak med x adderar exponenten med 2 så att det blir x i kvadrat och dividerar med 2 då får jag -20x och för 20 multiplicerar jag med x. Den primitiva funktionen för f(x) = 5x3/3 -20x + 20x. Därefter tar jag ut den primitiva funktionen för g(x) genom att multiplicera 10 med x och att addera exponent vid x så att det blir x i kvadrat och dividerar det med 2. Den primitiva funktionen för g(x) blir 10x-x2/2.

Jag sätter dessa primitiva funktioner i klamrar och beräknar värdet:

[ 5x3/3 -20x + 20x]+ [10x-x2/2]
Därefter sätter jag in den övre gränsen istället för x och gör samma sak med den nedre i respektive klam. Jag subtrahera värdet av dessa två och sedan adderar jag de två klammernas värde. Då får jag arean för det sökta området.
Vad tyck nu?
Personligen tycker jag att det är på tok för mycket text.
Har du verkligen blivit ombedd att beskriva varje litet steg med ord?
Jag skulle föredra att du visade dina uträkningar med matematiska symboler, det är mycket lättare att hänga med då.
-----------------------
Jag hittade ett fel, du har fel exponent på $x^2$ -termen i din primitiva funktion till andragradsuttrycket.

Tanken är att jag ska redovisa min lösning imon på tavlan och där ska jag beskriva och motivera mina steg, använda rätt matematisk terminologi och även ha en strukturerad och relevant lösning. Det betygsätter läraren

Det andra steget är att hitta skärningspunkten då parabolen och linjen korsar varandra eftersom ………. Jag ställer då upp ekvationen att 5x2 - 20x + 20 = 10 -x. Därefter adderar jag x samt subtraherar med 10 på de båda leden, då får jag att 5x2 - 19x + 10 = 0 Jag använder mig av pq-formeln, men först divider jag alla led med 5. Då blir det x2 - 3,8 + 2 =0. x = 1,9 adderat/subtraherat med roten ur 3,61 subtraherat med 2. Då får jag att x1 = 3 och x2 = 0,63. x2 behöver jag inte eftersom den inte finns med i intervallet där arean ska beräknas.

Hur motiverar jag också det här med att hitta skärningspunkten? Det är det andra steget så jag har inte kommit än till att kunna se att det är två areor som bildar den skuggade områdens area.

Na5a skrev:
Det andra steget är att hitta skärningspunkten då parabolen och linjen korsar varandra eftersom ………. Jag ställer då upp ekvationen att 5x2 - 20x + 20 = 10 -x. Därefter adderar jag x samt subtraherar med 10 på de båda leden, då får jag att 5x2 - 19x + 10 = 0 Jag använder mig av pq-formeln, men först divider jag alla led med 5. Då blir det x2 - 3,8 + 2 =0. x = 1,9 adderat/subtraherat med roten ur 3,61 subtraherat med 2. Då får jag att x1 = 3 och x2 = 0,63. x2 behöver jag inte eftersom den inte finns med i intervallet där arean ska beräknas.
Hur motiverar jag också det här med att hitta skärningspunkten? Det är det andra steget så jag har inte kommit än till att kunna se att det är två areor som bildar den skuggade områdens area.

Du kan beskriva att du delar upp det skuggade området i två delar. Rita in dessa på tavlan.

Gränsen mellan dessa områden går genom grafernas skärningspunkt (peka på tavlan).

Därför behöver du ta reda på var graferna skär varandra, så att du vet vilka integrationsgränser du ska använda.

Yngve skrev:
Na5a skrev:
Det andra steget är att hitta skärningspunkten då parabolen och linjen korsar varandra eftersom ………. Jag ställer då upp ekvationen att 5x2 - 20x + 20 = 10 -x. Därefter adderar jag x samt subtraherar med 10 på de båda leden, då får jag att 5x2 - 19x + 10 = 0 Jag använder mig av pq-formeln, men först divider jag alla led med 5. Då blir det x2 - 3,8 + 2 =0. x = 1,9 adderat/subtraherat med roten ur 3,61 subtraherat med 2. Då får jag att x1 = 3 och x2 = 0,63. x2 behöver jag inte eftersom den inte finns med i intervallet där arean ska beräknas.
Hur motiverar jag också det här med att hitta skärningspunkten? Det är det andra steget så jag har inte kommit än till att kunna se att det är två areor som bildar den skuggade områdens area.
Du kan beskriva att du delar upp det skuggade området i två delar. Rita in dessa på tavlan.
Gränsen mellan dessa områden går genom grafernas skärningspunkt (peka på tavlan).
Därför behöver du ta reda på var graferna skär varandra, så att du vet vilka integrationsgränser du ska använda.

Tack så jätte mycket!! Men vad tycker du om själva lösningen, uppfyller jag kraven på A-nivå?

Na5a skrev:
Tack så jätte mycket!! Men vad tycker du om själva lösningen, uppfyller jag kraven på A-nivå?

Jag har svårt att bedöma det eftersom jag inte är lärare.

Men lycka till imorgon!

Tackar, tackar!

Men om vi säger så här istället: använda begreppen på rätt sätt? Är allt som är med i lösningen relevsant?

Na5a skrev:
Tackar, tackar!
Men om vi säger så här istället: använda begreppen på rätt sätt? Är allt som är med i lösningen relevsant?

Ja om du lägger till att skissa graferna och markera områdena $A_1$ respektive $A_2$ så tycker jag att det ser bra ut och att du har med relevant information.

Om begrepp: Andragradskurvan heter parabel.

Yngve skrev:
Na5a skrev:
Tackar, tackar!
Men om vi säger så här istället: använda begreppen på rätt sätt? Är allt som är med i lösningen relevsant?
Ja om du lägger till att skissa graferna och markera områdena $A_1$ respektive $A_2$ så tycker jag att det ser bra ut och att du har med relevant information.
Om begrepp: Andragradskurvan heter parabel.

Tack!!