Hur räknar jag ut variabeln a i y=ax²+bx+c?

Det går bra. Formeln kallas faktorsatsen, och kräver nollställen och någon mer punkt på kurvan. Dock är det endast minus i formeln, se Yngves kommentar. :)

Hypn0tic skrev:

För att räkna ut c i formeln tittar jag bara på vart linjen skär y axeln.

Det stämmer.

För att räkna ut b räknar jag ut symmetrilinjen och sedan använder mig av formeln: $-\frac{b}{2}=symmetrilinjen$. Då får jag b. 

Det stämmer inte. Symmetrilinjen ligger vid $x=-\frac{b}{2a}$

Men jag har ingen aning hur jag gör för att räkna ut a i formeln. Några jag pratat med säger att jag istället kan göra detta: $y=k(x\pm nollställe nr 1) (x\pm nollställe nr 2)$. När jag sätter in nollställen i här, får jag den traditionella formeln: y=ax²+bx+c

Nästan rätt. Om nollställena är $x_1$ och $x_2$ så gäller att $ax^2+bx+c=k(x-x_1)(x-x_2)$, där $k$ är en konstant som kan bestämmas med hjälp av en tredje punkt på kurvan. Det ska alltså vara ett minustecken, inte $\pm$.

Funktionen har inte alltid några reella nollställen. Låt oss anta att vi vet funktionens graf och behöver uppskatta dess matematiska form p(x) = ax² + bx + c.

Som du säger är c där grafen skär y-axeln så detta värde kan enkelt uppskattas grafiskt.

Vi kan även grafiskt uppskatta funktionens symmetrilinje x = x_symmetri och funktionens max eller minvärde, som vi kallar m.

Vi har då att

x_symmetri = -b/2a    (1).

Vidare så inses, med eller utan eftertanke, att

p(x_symmetri + 1) - m = a    (2). (Du kan visa detta om du kvadratkompletterar)

Så en algoritm för att bestämma a och b kan vara som följer:

Bestäm grafiskt m och x_symmetri.

Uppskatta grafiskt p(x_symmetri + 1) och beräkna a med ekvation (2).

Använd sedan ekvation (1) för att bestämma b.

Ekvation (2) kan generaliseras till

p(x_symmetri + $ϵ$) - m =  a${ϵ}^2$, som kan användas om det det är knepigt att läsa av p(x_symmetri + 1).

Yngve skrev:

Hypn0tic skrev:

För att räkna ut c i formeln tittar jag bara på vart linjen skär y axeln.

Det stämmer.

För att räkna ut b räknar jag ut symmetrilinjen och sedan använder mig av formeln: $-\frac{b}{2}=symmetrilinjen$. Då får jag b. 

Det stämmer inte. Symmetrilinjen ligger vid $x=-\frac{b}{2a}$

Men jag har ingen aning hur jag gör för att räkna ut a i formeln. Några jag pratat med säger att jag istället kan göra detta: $y=k(x\pm nollställe nr 1) (x\pm nollställe nr 2)$. När jag sätter in nollställen i här, får jag den traditionella formeln: y=ax²+bx+c

Nästan rätt. Om nollställena är $x_1$ och $x_2$ så gäller att $ax^2+bx+c=k(x-x_1)(x-x_2)$, där $k$ är en konstant som kan bestämmas med hjälp av en tredje punkt på kurvan. Det ska alltså vara ett minustecken, inte $\pm$.

Vad menar du när du säger att k är en konstant som kan bestämmas med hjälp av en tredje punkt på kurvan? Om jag fått reda på både b och c, hur går jag till väga för att få reda på a?

Skulle verkligen uppskatta det om du visade det, steg för steg då det är lite förvirrande för mig. 

Hypn0tic skrev:

Vad menar du när du säger att k är en konstant som kan bestämmas med hjälp av en tredje punkt på kurvan? Om jag fått reda på både b och c, hur går jag till väga för att få reda på a?

Skulle verkligen uppskatta det om du visade det, steg för steg då det är lite förvirrande för mig. 

Om vi säger att grafens nollställen är $x_1=1$ och $x_2=3$ så har vi sambandet $y=k(x-1)(x-3)$.

För att bestämma värdet på $k$ så behöver vi känna till ytterligare en punkt på kurvan.

Säg att en tredje punkt på kurvan är $(4,6)$. Det betyder att $x=4$ och $y=6$ uppfyller sambandet $y=k(x-1)(x-3)$.

Detta ger oss ekvationen $6=k(4-1)(4-3)$, dvs $6=k\cdot3\cdot1$, dvs $6=3k$, dvs $k=2$.

Det ger oss följande: $y=2(x-1)(x-3)$, dvs $y=2(x^2-4x+3)$, dvs $y=2x^2-8x+6$.

----------

Ett generellt sätt att bestämma värdena på konstanterna a, b och c beskriver jag i detta svar.

Yngve skrev:

Hypn0tic skrev:

Vad menar du när du säger att k är en konstant som kan bestämmas med hjälp av en tredje punkt på kurvan? Om jag fått reda på både b och c, hur går jag till väga för att få reda på a?

Skulle verkligen uppskatta det om du visade det, steg för steg då det är lite förvirrande för mig. 

Om vi säger att grafens nollställen är $x_1=1$ och $x_2=3$ så har vi sambandet $y=k(x-1)(x-3)$.

För att bestämma värdet på $k$ så behöver vi känna till ytterligare en punkt på kurvan.

Säg att en tredje punkt på kurvan är $(4,6)$. Det betyder att $x=4$ och $y=6$ uppfyller sambandet $y=k(x-1)(x-3)$.

Detta ger oss ekvationen $6=k(4-1)(4-3)$, dvs $6=k\cdot3\cdot1$, dvs $6=3k$, dvs $k=2$.

Det ger oss följande: $y=2(x-1)(x-3)$, dvs $y=2(x^2-4x+3)$, dvs $y=2x^2-8x+6$.

----------

Ett generellt sätt att bestämma värdena på konstanterna a, b och c beskriver jag i detta svar.

Jättebra! Jag förstår nu. 

En sista fråga bara, för att få fram symmetrilinjen sa du att man kan köra på $x=-\frac{b}{2a}$men man kan också gå på denna del av pq-formeln: $-\frac{p}{2}$för att få symmetrilinjen eller?

Hur vet jag vilken jag ska använda mig av vid olika tillfällen?

pq formeln utgår ju från en form då a = 1. Så med detta i beaktande blir svaret kanske uppenbart.

Som du kanske minns så funkar pq-formeln bara när koefficienten framför $x^2$-termen är lika med 1, dvs när ekvationen ser ut på följande sätt:

$x^2+px+q=0$

En mer generell andragradsekvation, där koefficienten framför $x^2$-termen kan vara vad som helst (utom 0) kan skrivas

$ax^2+bx+c=0$

Om du nu dividerar hela ekvationen med $a$ så får du att $x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$

Ser du nu att dessa båda ekvationer uttrycker exakt samma samband, om bara $p=\frac{b}{a}$ och $q=\frac{c}{a}$?

Efrersom $p=\frac{b}{a}$ så är $-\frac{p}{2}=-\frac{\frac{b}{a}}{2}=-\frac{b}{2a}$.

Så det är alltså samma sak!

------------

Kort sagt så kan du använda använda $x=-\frac{p}{2}$ då $x^2$- termen har koefficienten 1 och $x=-\frac{b}{2a}$ då $x^2$-termen har ngn annan (nollskild) koefficient.

PATENTERAMERA skrev:

pq formeln utgår ju från en form då a = 1. Så med detta i beaktande blir svaret kanske uppenbart.

Jaha, det är ju sant. Så om formeln inte är så att a=1 är det smartare att använda -b/2a istället.

Hypn0tic skrev:

PATENTERAMERA skrev:

pq formeln utgår ju från en form då a = 1. Så med detta i beaktande blir svaret kanske uppenbart.

Jaha, det är ju sant. Så om formeln inte är så att a=1 är det smartare att använda -b/2a istället.

Så kan man göra, men för egen del tycker jag att det är lättare att dela hela ekvationen med a så att jag kan använda pq-formeln och slipper lära mig en formel till.