21 svar
818 visningar
knasterknorr 60 – Fd. Medlem
Postad: 24 jun 2018 12:51

Hur räknar jag ut arean av en cylinder när bara volymen är känd?

Hej!

Jag har stött på ett problem i en uppgift som jag trodde var enkel. Jag ska räkna ut minsta möjliga area hos en cylinder som ska rymma 2500 cm^3. Volymen är det enda som är känt (förutom pi) och jag har kört fast totalt.

Jag vet formlerna till både mantelarean och arean till de två ”locken”:

mantelarean= 2*pi*r*h

arean för locken = r^2*pi*2

jag förstår inte hur jag ska få fram varken höjden eller radien med den lilla information jag har.

höjden antar jag ska beräknas såhär:

h=2500/pi*r^2 men jag vet inte hur jag ska komma vidare.

 

iom att jag sedan ska räkna ut minsta möjliga area antar jag att det är en ekvation jag är ute efter (så att jag kan se när derivatan är noll)

vore jättesnällt om någon kunde ge mig en knuff i rätt riktning!

AlvinB 4014
Postad: 24 jun 2018 13:17

Du har ju löst ut att

h=2500πr2h=\dfrac{2500}{\pi r^2}

Sätt in det i formeln 2πrh+2πr22\pi r h +2\pi r^2 (alltså den totala ytarean) och derivera funktionen för att hitta den minsta möjliga arean.

knasterknorr 60 – Fd. Medlem
Postad: 24 jun 2018 13:29
AlvinB skrev:

Du har ju löst ut att

h=2500πr2h=\dfrac{2500}{\pi r^2}

Sätt in det i formeln 2πrh+2πr22\pi r h +2\pi r^2 (alltså den totala ytarean) och derivera funktionen för att hitta den minsta möjliga arean.

 Tack! Nu börjar det klarna upp lite.

Då bör väl funktionen (innan jag deriverar den) se ut såhär:

2*pi*r*((2500/(pi*r^2))+2*pi*r2

 

Nu är jag lite osäker på deriveringen eftersom jag har lärt mig att siffror (som t.ex 5) försvinner om de står ensamma. Försvinner då både 2 och pi i första ledet? Och ska jag behandla r som ett x iom att det är okänt?

AlvinB 4014
Postad: 24 jun 2018 13:38

Ja, vi ska ju derivera med avseende på rr (d.v.s. tänka rr som man vanligen gör med xx) för att hitta radien som ger den minsta möjliga arean.

Tvåorna och pi försvinner inte eftersom de är koefficienter till olika termer med rr i. Om de däremot hade stått själva utan rr hade deras derivator blivit noll.

Jag tror det kan hjälpa att försöka förenkla det hela:

2πr·2500πr2+2πr2=2·2500r+2πr2=5000·1r+2π·r22\pi r \cdot \dfrac{2500}{\pi r^2}+2 \pi r^2=\dfrac{2\cdot 2500}{r}+2 \pi r^2=5000 \cdot \dfrac{1}{r}+2\pi \cdot r^2

Tror du att du kan derivera det nu?

knasterknorr 60 – Fd. Medlem
Postad: 24 jun 2018 14:05
AlvinB skrev:

Ja, vi ska ju derivera med avseende på rr (d.v.s. tänka rr som man vanligen gör med xx) för att hitta radien som ger den minsta möjliga arean.

Tvåorna och pi försvinner inte eftersom de är koefficienter till olika termer med rr i. Om de däremot hade stått själva utan rr hade deras derivator blivit noll.

Jag tror det kan hjälpa att försöka förenkla det hela:

2πr·2500πr2+2πr2=2·2500r+2πr2=5000·1r+2π·r22\pi r \cdot \dfrac{2500}{\pi r^2}+2 \pi r^2=\dfrac{2\cdot 2500}{r}+2 \pi r^2=5000 \cdot \dfrac{1}{r}+2\pi \cdot r^2

Tror du att du kan derivera det nu?

 Här har jag försökt att derivera det sista ledet efter förenklingen och får:

5000/1+2*pi*2r

jag vet dock inte om jag deriverade rätt där vid 5000. Jag tänkte att ett x blir ju bara en 1:a när det deriveras

AlvinB 4014
Postad: 24 jun 2018 14:07

Andra termen blev rätt, men på första termen måste du tänka att 1r=r-1\frac{1}{r}=r^{-1} och därefter använda potensregeln.

knasterknorr 60 – Fd. Medlem
Postad: 24 jun 2018 14:09

Just det ja, då blir det väl -5000r^-2?

AlvinB 4014
Postad: 24 jun 2018 14:16

Just det.

knasterknorr 60 – Fd. Medlem
Postad: 24 jun 2018 14:20
AlvinB skrev:

Just det.

 Okej vad bra! Ska jag försöka lösa ut radien nu på något sätt för att kunna ta reda på arean?

knasterknorr 60 – Fd. Medlem
Postad: 24 jun 2018 14:20
knasterknorr skrev:
AlvinB skrev:

Just det.

 Okej vad bra! Ska jag försöka lösa ut radien nu på något sätt för att kunna ta reda på arean?

 Och ska jag sätta =0 efter eller är det redan gjort?

Bubo 7418
Postad: 24 jun 2018 16:33

Vad är det du vill ha till noll, och varför?

knasterknorr 60 – Fd. Medlem
Postad: 24 jun 2018 16:47
Bubo skrev:

Vad är det du vill ha till noll, och varför?

 Jag vill ha den deriverade funktionen och sedan = 0 för att kunna se var derivatan är noll, alltså funktionens extrempunkt. Jag vill komma åt den för att se var arean blir som störst utan att volymen ändras. 

Bubo 7418
Postad: 24 jun 2018 16:58

Exakt. Helt rätt.

Du har skrivit arean som en funktion av enbart r (genom att utnyttja ett samband mellan r och h) och du har även deriverat den funktionen.

Skriv ut hela den där derivatan, för det har du inte gjort än. Sedan är alltså frågan vad r ska vara för att funktionen skall ha en extrempunkt.

knasterknorr 60 – Fd. Medlem
Postad: 24 jun 2018 17:07
Bubo skrev:

Exakt. Helt rätt.

Du har skrivit arean som en funktion av enbart r (genom att utnyttja ett samband mellan r och h) och du har även deriverat den funktionen.

Skriv ut hela den där derivatan, för det har du inte gjort än. Sedan är alltså frågan vad r ska vara för att funktionen skall ha en extrempunkt.

 Då får jag:

-5000r^-2+2*pi*2r=0

jag flyttar över -5000r så att den blir positiv och får då:

 

2*pi*2r=5000r^-2

som också kan skrivas som 4*pi*r=5000/r^2

 

hur gör jag efter det? Har inte deriverat många uppgifter på den här nivån 

Bubo 7418
Postad: 24 jun 2018 17:14
knasterknorr skrev:
 

-5000r^-2+2*pi*2r=0

jag flyttar över -5000r så att den blir positiv och får då:

Nja, ganska många  säger så där, men jag tycker inte om det. Det finns inget räknesätt "flytta över". Det du gör är att du adderar 5000r till både högerledet och vänsterledet.

2*pi*2r=5000r^-2

som också kan skrivas som 4*pi*r=5000/r^2

hur gör jag efter det? Har inte deriverat många uppgifter på den här nivån 

 Multiplicera bägge sidor med något lämpligt.

knasterknorr 60 – Fd. Medlem
Postad: 24 jun 2018 17:35
Bubo skrev:
knasterknorr skrev:
 

-5000r^-2+2*pi*2r=0

jag flyttar över -5000r så att den blir positiv och får då:

Nja, ganska många  säger så där, men jag tycker inte om det. Det finns inget räknesätt "flytta över". Det du gör är att du adderar 5000r till både högerledet och vänsterledet.

2*pi*2r=5000r^-2

som också kan skrivas som 4*pi*r=5000/r^2

hur gör jag efter det? Har inte deriverat många uppgifter på den här nivån 

 Multiplicera bägge sidor med något lämpligt.

 Jag multiplicerade med 5000 på varje sida och fick x^3=5000/(4*pi)
Detta löste jag med tredjeroten och fick r=7,36. Kan det stämma?

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 24 jun 2018 17:40

Hej!

Cynderns area är, som du skriver, lika med

    A=2πrh+2πr2=2πr2(1+hr)\displaystyle A = 2\pi r h + 2\pi r^2=2\pi r^2(1+\frac{h}{r})

För att få förhållandet hr\frac{h}{r}  kan du använda uttrycket för cylinderns volym (VV). 

    V=πr2h    hr=Vπr3\displaystyle V=\pi r^2 h \quad \Rightarrow \quad \frac{h}{r}=\frac{V}{\pi r^3} 

vilket uttrycker cylinderns area som funktion av cylinderns radie.

   A=2πr2+2Vπr\displaystyle A = 2\pi r^2 + \frac{2V}{\pi r}.

Du vill finna den radie som gör cylinderarean så liten som möjligt, under förutsättning att cylindervolymen är lika med 25002500 kubikcentimeter. 

Bubo 7418
Postad: 24 jun 2018 19:14
knasterknorr skrev:

 Jag multiplicerade med 5000 på varje sida och fick x^3=5000/(4*pi)
Detta löste jag med tredjeroten och fick r=7,36. Kan det stämma?

 Du har rätt svar, men det du skriver att du har gjort är inte sant.

Du har

  • Multiplicerat bägge leden med r^2
  • Dividerat bägge leden med (4pi)

Du har inte multiplicerat bägge leden med 5000.

knasterknorr 60 – Fd. Medlem
Postad: 24 jun 2018 19:24
Bubo skrev:
knasterknorr skrev:

 Jag multiplicerade med 5000 på varje sida och fick x^3=5000/(4*pi)
Detta löste jag med tredjeroten och fick r=7,36. Kan det stämma?

 Du har rätt svar, men det du skriver att du har gjort är inte sant.

Du har

  • Multiplicerat bägge leden med r^2
  • Dividerat bägge leden med (4pi)

Du har inte multiplicerat bägge leden med 5000.

 Oj, ja det stämmer ju. Blev visst för mycket att hålla reda på där i slutet, haha. Men då tror jag att jag har löst hela uppgiften rätt.

Höjden löser jag såhär: 2500/(pi*7,36^2)=14,69

Och sedan cylinderns totala area (som då bör vara den minsta möjliga arean för 2500 cm^3):

2*pi*7,36^2+2*pi*7,36*14,69=1019,9

Då har jag gjort rätt väl?

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 24 jun 2018 19:37

Cylinderareans derivata

    A'(r)=4πr-2Vπr2\displaystyle A'(r)=4\pi r -\frac{2V}{\pi r^2}

är negativ då 0<r<R0<><> och positiv då r>Rr>R, vilket betyder att cylinderarean är som minst när dess radie är RR centimeter; den specifika radien bestäms av ekvationen

    A'(R)=02π2R3=V.

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 24 jun 2018 19:44

En sådan cylinders höjd är lika med $$2\pi R$$.

Resultat: Om man vill konstruera en cylinder som har så liten area som möjligt -- då cylinderns volym är given -- så ska man se till att höjden är lika med basytans omkrets. 

Guggle 1364
Postad: 25 jun 2018 09:58 Redigerad: 25 jun 2018 10:12
Albiki skrev:

    V=πr2h    hr=Vπr3\displaystyle V=\pi r^2 h \quad \Rightarrow \quad \frac{h}{r}=\frac{V}{\pi r^3} 

vilket uttrycker cylinderns area som funktion av cylinderns radie.

   A=2πr2+2Vπr\displaystyle A = 2\pi r^2 + \frac{2V}{\pi r}.

Hej Albiki,

Du har slarvat med ett π\pi för mycket i ditt uttryck för arean vilket följer med till din slutsats. Det gäller att A=2πr2+2VrA=2\pi r^2+\frac{2V}{r} vilket småningom ger att r ska väljas som

r=h2r=\dfrac{h}{2}

Ett alternativt betraktelsesätt (fast egentligen samma sak) är att utnyttja att gradienten av arean och gradienten av volymen måste peka åt samma håll i rh-planet. Det innebär att förhållandet mellan dessa vektorers komponenter måste vara lika:

V=(2πrh,πr2), A=(4πr+2πh,2πr)\nabla V=(2\pi rh, \pi r^2), \> \nabla A=(4\pi r+2\pi h, 2\pi r)

2πrhπr2=4πr+2πh2πrr=h2\frac{2\pi r h}{\pi r^2}=\frac{4\pi r+2\pi h}{2\pi r}\Rightarrow r=\dfrac{h}{2}

Svara
Close