Hur räknar jag ut arean av en cylinder när bara volymen är känd?

Du har ju löst ut att

$h=\dfrac{2500}{\pi r^2}$

Sätt in det i formeln $2\pi r h +2\pi r^2$ (alltså den totala ytarean) och derivera funktionen för att hitta den minsta möjliga arean.

AlvinB skrev:

Du har ju löst ut att

$h=\dfrac{2500}{\pi r^2}$

Sätt in det i formeln $2\pi r h +2\pi r^2$ (alltså den totala ytarean) och derivera funktionen för att hitta den minsta möjliga arean.

 Tack! Nu börjar det klarna upp lite.

Då bör väl funktionen (innan jag deriverar den) se ut såhär:

2*pi*r*((2500/(pi*r^2))+2*pi*r2

Nu är jag lite osäker på deriveringen eftersom jag har lärt mig att siffror (som t.ex 5) försvinner om de står ensamma. Försvinner då både 2 och pi i första ledet? Och ska jag behandla r som ett x iom att det är okänt?

Ja, vi ska ju derivera med avseende på $r$ (d.v.s. tänka $r$ som man vanligen gör med $x$) för att hitta radien som ger den minsta möjliga arean.

Tvåorna och pi försvinner inte eftersom de är koefficienter till olika termer med $r$ i. Om de däremot hade stått själva utan $r$ hade deras derivator blivit noll.

Jag tror det kan hjälpa att försöka förenkla det hela:

$2\pi r \cdot \dfrac{2500}{\pi r^2}+2 \pi r^2=\dfrac{2\cdot 2500}{r}+2 \pi r^2=5000 \cdot \dfrac{1}{r}+2\pi \cdot r^2$

Tror du att du kan derivera det nu?

AlvinB skrev:

Ja, vi ska ju derivera med avseende på $r$ (d.v.s. tänka $r$ som man vanligen gör med $x$) för att hitta radien som ger den minsta möjliga arean.

Tvåorna och pi försvinner inte eftersom de är koefficienter till olika termer med $r$ i. Om de däremot hade stått själva utan $r$ hade deras derivator blivit noll.

Jag tror det kan hjälpa att försöka förenkla det hela:

$2\pi r \cdot \dfrac{2500}{\pi r^2}+2 \pi r^2=\dfrac{2\cdot 2500}{r}+2 \pi r^2=5000 \cdot \dfrac{1}{r}+2\pi \cdot r^2$

Tror du att du kan derivera det nu?

 Här har jag försökt att derivera det sista ledet efter förenklingen och får:

5000/1+2*pi*2r

jag vet dock inte om jag deriverade rätt där vid 5000. Jag tänkte att ett x blir ju bara en 1:a när det deriveras

Andra termen blev rätt, men på första termen måste du tänka att $\frac{1}{r}=r^{-1}$ och därefter använda potensregeln.

Just det ja, då blir det väl -5000r^-2?

Just det.

AlvinB skrev:

Just det.

 Okej vad bra! Ska jag försöka lösa ut radien nu på något sätt för att kunna ta reda på arean?

knasterknorr skrev:

AlvinB skrev:

Just det.

 Okej vad bra! Ska jag försöka lösa ut radien nu på något sätt för att kunna ta reda på arean?

 Och ska jag sätta =0 efter eller är det redan gjort?

Vad är det du vill ha till noll, och varför?

Bubo skrev:

Vad är det du vill ha till noll, och varför?

 Jag vill ha den deriverade funktionen och sedan = 0 för att kunna se var derivatan är noll, alltså funktionens extrempunkt. Jag vill komma åt den för att se var arean blir som störst utan att volymen ändras. 

Exakt. Helt rätt.

Du har skrivit arean som en funktion av enbart r (genom att utnyttja ett samband mellan r och h) och du har även deriverat den funktionen.

Skriv ut hela den där derivatan, för det har du inte gjort än. Sedan är alltså frågan vad r ska vara för att funktionen skall ha en extrempunkt.

Bubo skrev:

Exakt. Helt rätt.

Du har skrivit arean som en funktion av enbart r (genom att utnyttja ett samband mellan r och h) och du har även deriverat den funktionen.

Skriv ut hela den där derivatan, för det har du inte gjort än. Sedan är alltså frågan vad r ska vara för att funktionen skall ha en extrempunkt.

 Då får jag:

-5000r^-2+2*pi*2r=0

jag flyttar över -5000r så att den blir positiv och får då:

2*pi*2r=5000r^-2

som också kan skrivas som 4*pi*r=5000/r^2

hur gör jag efter det? Har inte deriverat många uppgifter på den här nivån 

knasterknorr skrev:

 

-5000r^-2+2*pi*2r=0

jag flyttar över -5000r så att den blir positiv och får då:

Nja, ganska många  säger så där, men jag tycker inte om det. Det finns inget räknesätt "flytta över". Det du gör är att du adderar 5000r till både högerledet och vänsterledet.

2*pi*2r=5000r^-2

som också kan skrivas som 4*pi*r=5000/r^2

hur gör jag efter det? Har inte deriverat många uppgifter på den här nivån 

 Multiplicera bägge sidor med något lämpligt.

Bubo skrev:

knasterknorr skrev:

Visa föregående citat

 

-5000r^-2+2*pi*2r=0

jag flyttar över -5000r så att den blir positiv och får då:

Nja, ganska många  säger så där, men jag tycker inte om det. Det finns inget räknesätt "flytta över". Det du gör är att du adderar 5000r till både högerledet och vänsterledet.

2*pi*2r=5000r^-2

som också kan skrivas som 4*pi*r=5000/r^2

hur gör jag efter det? Har inte deriverat många uppgifter på den här nivån 

 Multiplicera bägge sidor med något lämpligt.

 Jag multiplicerade med 5000 på varje sida och fick x^3=5000/(4*pi)
Detta löste jag med tredjeroten och fick r=7,36. Kan det stämma?

Hej!

Cynderns area är, som du skriver, lika med

    $\displaystyle A = 2\pi r h + 2\pi r^2=2\pi r^2(1+\frac{h}{r})$. 

För att få förhållandet $\frac{h}{r}$  kan du använda uttrycket för cylinderns volym ($V$). 

    $\displaystyle V=\pi r^2 h \quad \Rightarrow \quad \frac{h}{r}=\frac{V}{\pi r^3}$ 

vilket uttrycker cylinderns area som funktion av cylinderns radie.

   $\displaystyle A = 2\pi r^2 + \frac{2V}{\pi r}$.

Du vill finna den radie som gör cylinderarean så liten som möjligt, under förutsättning att cylindervolymen är lika med $2500$ kubikcentimeter. 

knasterknorr skrev:

 Jag multiplicerade med 5000 på varje sida och fick x^3=5000/(4*pi)
Detta löste jag med tredjeroten och fick r=7,36. Kan det stämma?

 Du har rätt svar, men det du skriver att du har gjort är inte sant.

Du har

• Multiplicerat bägge leden med r^2
• Dividerat bägge leden med (4pi)

Du har inte multiplicerat bägge leden med 5000.

Bubo skrev:

knasterknorr skrev:

 Jag multiplicerade med 5000 på varje sida och fick x^3=5000/(4*pi)
Detta löste jag med tredjeroten och fick r=7,36. Kan det stämma?

 Du har rätt svar, men det du skriver att du har gjort är inte sant.

Du har

• Multiplicerat bägge leden med r^2
• Dividerat bägge leden med (4pi)

Du har inte multiplicerat bägge leden med 5000.

 Oj, ja det stämmer ju. Blev visst för mycket att hålla reda på där i slutet, haha. Men då tror jag att jag har löst hela uppgiften rätt.

Höjden löser jag såhär: 2500/(pi*7,36^2)=14,69

Och sedan cylinderns totala area (som då bör vara den minsta möjliga arean för 2500 cm^3):

2*pi*7,36^2+2*pi*7,36*14,69=1019,9

Då har jag gjort rätt väl?

Cylinderareans derivata

    $\displaystyle A'(r)=4\pi r -\frac{2V}{\pi r^2}$

är negativ då $0<><>$ och positiv då $r>R$, vilket betyder att cylinderarean är som minst när dess radie är $R$ centimeter; den specifika radien bestäms av ekvationen

    $A\text{'}\left(R\right)=0\iff 2{\pi }^2{R}^3=V.$

En sådan cylinders höjd är lika med $$2\pi R$$.

Resultat: Om man vill konstruera en cylinder som har så liten area som möjligt -- då cylinderns volym är given -- så ska man se till att höjden är lika med basytans omkrets. 

Albiki skrev:

    $\displaystyle V=\pi r^2 h \quad \Rightarrow \quad \frac{h}{r}=\frac{V}{\pi r^3}$ 

vilket uttrycker cylinderns area som funktion av cylinderns radie.

   $\displaystyle A = 2\pi r^2 + \frac{2V}{\pi r}$.

Hej Albiki,

Du har slarvat med ett $\pi$ för mycket i ditt uttryck för arean vilket följer med till din slutsats. Det gäller att $A=2\pi r^2+\frac{2V}{r}$ vilket småningom ger att r ska väljas som

$r=\dfrac{h}{2}$

Ett alternativt betraktelsesätt (fast egentligen samma sak) är att utnyttja att gradienten av arean och gradienten av volymen måste peka åt samma håll i rh-planet. Det innebär att förhållandet mellan dessa vektorers komponenter måste vara lika:

$\nabla V=(2\pi rh, \pi r^2), \> \nabla A=(4\pi r+2\pi h, 2\pi r)$

$\frac{2\pi r h}{\pi r^2}=\frac{4\pi r+2\pi h}{2\pi r}\Rightarrow r=\dfrac{h}{2}$