Hur mycket ökar trycket i däcket?

Hejsan! 

Jag försöker lösa en uppgift och jag förstår inte riktigt varför jag inte får rätt svar. Jag har svårt att se om hela min metod är fel sätt att lösa uppgiften eller om jag har gjort något fel på vägen. Jag vore väldigt tacksam för lite vägledning :)

Uppgiften lyder såhär:

Kolven i en cykelpump är 28 cm lång. Trycket i cykelslangen är 2,4 atmosfärer.

(a) Svar: Kolven måste tryckas in 16 cm innan ventilen öppnas. 

(b) Hur mycket ökar trycket i däcket om det har volymen 2,7 liter och pumpen har innerdiametern 3,0 cm?

Såhär har jag försökt att lösa uppgiften:

Jag använder mig av ideala gaslagen.

$\frac{p_1\times v_1}{T_1}=\frac{p_2\times v_2}{T_2}$

Jag börjar ta reda på allt jag kan med hjälp av den information jag har fått..

Före..

$$\begin{gathered} p_1=243180 Pa \\ {v}_1=2,7 liter=0,0027 m^3 \\ {T}_1=T (Jag antar att temperaturen blir oförändrad) \end{gathered}$$

Efter..

$$\begin{gathered} p_2=p_2 \\ {v}_2=original volym+volymen i luften som kommer från pumpen=0,0027+\mathrm{\pi }\times 0,{015}^2\times (0,28-0,16)=0,00278 {\mathrm{m}}^{3 } \\ {\mathrm{T}}_2=\mathrm{T} (\mathrm{Jag} \mathrm{antar} \mathrm{att} \mathrm{temperaturen} \mathrm{blir} \mathrm{oförändrad}) \end{gathered}$$

Med (0,28-0,16) menar jag resten (längd) av pumpen då kolven har öppnats. 

Jag stoppar in värdena i ideala gaslagen och bryter ut $p_2$

$$\begin{gathered} \frac{243180\times 0,0027}{T}=\frac{p_2\times 0,00278}{T} \\ {p}_2\times 0,00278=656,586 \\ {p}_2=\frac{656,586}{0,00278}=236182 Pa \\ {p}_2=236182 Pa \end{gathered}$$

Jag får att trycket i slangen efter att pumpen har tryckts in blir 236182 Pa vilket är fel då det trycket är mindre än vad det var innan pumpen hade tryckt in mer luft.

Ska jag kanske lösa uppgiften på ett annat sätt? Eller har jag tänkt lite knasigt någonstans? Vore mycket tacksam för lite vägledning då jag sitter fast här :)

Tack på förhand!