Hur mycket har linan töjts som mest under fallet?

Partykoalan skrev:

I delfråga c) har jag beräknat att repet har töjts som mest 5,5 meter under Olles fall. Är svaret rätt?  

Troligen inte. Det var ju givet att 5 meter är max.

Okej, har spenderat ganska mycket tid att räkna ut hur mycket repets maximala uttöjning är, skulle du kunna se var jag har gjort fel om det är så att jag beräknat fel? Svaret verkar vara rätt om man ignorerar att den maximala uttöjningen är 5 m. 

OK, kontrollräkning.

Den elastiska energin vid 5,5 meter blir $E_{\rm elast} = \frac{1}{2}k \ell^2 = \frac{1}{2} \times 1200 \times 5,\!5^2 = 18,\!15 \ {\rm kJ}.$

Skillnaden i gravitationell potentiell energi är $E_{\rm grav} = mg {\rm \Delta} h = 86 \times 9,\!82 \times (3,\!1 + 13 + 5,\!5) = 18,\!24 \ {\rm kJ}.$

Så ja, det borde ju stämma. Olle dör.

Okej, tack!

Gjorde en kontrollräkning nu också, och fick precis samma siffervärde vid energiomvandling.  Jag använde 5,5158945 som räknaren gav för förlängning och stoppade in det värdet. Svaret är 18 255 J. Jag brukar omvandla i slutet. Så repet brister alltså och Olle dör.

Men... du hade två möjliga lösningar för den kvadratiska ekvationen.

Kanske är det den andra där Olle överlever?

Precis, men den andra lösningen gav 12 m och det är ju omöjligt eftersom repets längd är 13 m i osträckt läge? Det går ju inte ihop? :)

Du har rätt. Olle dog :(

Han var för tung.

En sak till, vad säger oss 16,8 m i det här fallet? Är det något slags jämviktsläge? Har 16,8 m någon fysikalisk betydelse? 

Den andra lösningen h2, och symmetripunkten emellan lösningarna, har inte någon fysikalisk tolkning. Det är enbart en matematisk konsekvens av beräkningsmodellen.
Den fysikaliska modellen att repet följer hookes lag när det förlängs, gäller ju inte när repet blir kortare än sin obelastade längd (x<0), därmed finns inte heller någon fysikalisk tolkning för x<0.

Okej, låt säga att repets maximala förängning istället är 5,5 m och att Olle inte ramlar ner utan klarar sig precis, dvs. Olle svänger upp och ner några gånger innan han stannar. Det verkar som att den maximala hastigheten och var Olle hänger när han slutat svänga inte ändras nu heller.

Går det att beräkna den maximala hastigheten mha wAsin(wt) eller wAcos(wt) eftersom det handlar om harmonisk svängningsrörelse? Maximala hastigheten blir nu endast wA eftersom sin(wt) och cos(wt) maximalt kan bli 1. 

1) Vad är svängningstiden i slutet av svängningsförloppet? 

2) Hur långt under linans fästpunkt hänger Olle när svängningen upphört? 

3) Bestäm Olles maximala hastigheten under fallet? 

Intressant fråga!

Svängningen kommer att bli störd av att Olle under delar av svängningen kommer att befinna sig vid x-positioner där hookes lag inte är definierad. Och således inte heller bli harmonisk svängning, och kan inte beskrivas av sinusfunktioner.

Du har tidigare beräknat jämviktsläget vid x=0.7m, och undre vändläget till X=5.5m. Då skulle harmoniska amplituden vara 5.5-0.7=3.8m, och övre vändlöget 0.7-3.8=-2.1m. Fungerar inte.

Olle kommer att under delar av svängningen befinna sig i positioner där han enbart påverkas av tyngdkraften, men ingen fjäderkraft.

Det är nog enklast att undersöka svängningstiden med numerisk metod, men Olles svängning kommer att avstanna, eftersom andra gången han tas emot av repet så kommer han inte ha lika hög fart som första, osv.

Har precis räknat ut det och det verkar fungera. Fick precis samma svar som med energiresonemanget. Dvs max hastigheten blir detsamma. 5,5-0,7=4,8 så amplituden blir 4,8 m.

Vinkelhastigheten blir roten ur k×m och dessa känner vi till. Man måste dock använda det exakta värdet som miniräknaren ger för den maximala förlängningen för repet för att den maximala hastigheten ska stämma. 

Här har jag använt både energiresonemanget och formeln för harmonisk svängningsrörelse och jämfört dessa. 

Ja, hastigheten i första svängningen kan du räkna ut, eftersom då har inte den harmoniska svängningen blivit distorderad än, utan den harmoniska modellen stämmer. Men svängningstiden kommer inte att bli konstant och oberoende av tiden (förutom den första halva svängningsperioden, innan Olle svängt in på negativa x-värden, och svängningen blivit distorderad)

(...och du såg säkert att jag räknade ut amplituden med stortån)

Okej, ja det stämmer att svängningen inte kommer att bli konstant pga friktion och luftmotstånd osv. Det blir inte perfekt harmonisk svängning. Men det kanske duger att beräkna maximala hastigheten i början i alla fall. 

Ja jag märkte det, men det händer oss alla ibland :) 

Tycker du att energiresonemanget verkar som en säkrare beräkningsmetod vid beräkning av maxhastighet i sådana här uppgifter? 

Du har rätt i att Olles svängning kommer att fortgå om inte friktion och luftmotstånd osv inte hade funnits, men du hade inte kunnat beräkna svängningstiden även utan friktion och luftmotstånd osv, med $T=2\mathrm{\pi }\sqrt{\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{k}}}$eftersom delar av svängningsrörelsen inte är harmonisk. 

Jag tycker energiresonemanget (och kraftjämviktresonemanget som du också använde) är en mer rättfram metod för den är uppgiften. Eller nödvändig, eftersom du måste ändå använda ett sådant resonemang för att räkna fram amplituden). 

Oftast tycker jag att det är enklare och mer rättframt att använda energiresonemang i de fall där tiden inte är inblandad som en parameter i uppgiften, men det som avgör för mig är vilka uppgifter man får gratis ur uppgifttexten. Det hade till exempel varit annorlunda om uppgiften hade varit att beräkna Olles hastighet 0.2sek efter att repet sträcktes första gången. Då hade man varit tvungen att ta fram ett tidsberoende uttryck för Olles harmoniska rörelse, precis som du gjorde i #13.

Okej, tack för hjälpen!