Hur motiverar jag existens av minpunkt

Det är väldigt uppenbart för man ritar upp kurvan att det finns ett minsta avstånd men hur ska man matematiskt bevisa det? Vi har ju inte ett slutet och begränsat intervall. Jag får att avståndet från origo till kurvan ges utav d(x)=sqrt(x^2+(1-x^2)^2). Om man tar gränsvärdet denna ekvation när x går mot ±∞ får vi ∞. Kan man använda sig utav den informationen på något sätt?

Varför inte derivera för att hitta en minimum punkt

ItzErre skrev:
Varför inte derivera för att hitta en minimum punkt

jo det ska jag göra men man måste alltid argumentera för max/min-punkters existens innan.

Eller så gör man det efter man räknat ut derivatan.

Genom att titta på derivatan kan du ju se var funktionen är växande/avtagande och så vidare, vilket hjälper om man vill se om det finns något globalt min.

Det är förvisso sant att existensen av ett största eller minsta inte är garanterad på en icke-kompakt mängd. Men de flesta problem kan faktiskt återföras till en optimering på ett kompakt område genom att man inför en kompakt avskärning av definitionsområdet.

Detta är en tillåten metod när du (t.ex. genom en uppskattning) kan visa att funktionsvärdena utanför avskärningen inte påverkar resultatet.

I det här fallet är t.ex distansen i kvadrat från origo

$x^4-x^2+1\geq x^4-2x^2+1= (x^2-1)^2$

Sätter vi in villkoret $|x|\ge 2$ inser vi att

$x^4-x^2+1\geq 9$

Edit: Blev lite dåligt formulerat men andemeningen är alltså

På den kompakta mängden $|x|\leq2$ har avståndsfunktionen (i kvadrat) ett minsta värde vi kan hitta med de vanliga metoderna. Och om värdet är mindre än t.ex. $9$ är det alltså ett globalt minimum eftersom vi visat att funktionen alltid är större än 9 utanför vår avgränsning.

D4NIEL skrev:
Det är förvisso sant att existensen av ett största eller minsta inte är garanterad på en icke-kompakt mängd. Men de flesta problem kan faktiskt återföras till en optimering på ett kompakt område genom att man inför en kompakt avskärning av definitionsområdet.

Detta är en tillåten metod när du (t.ex. genom en uppskattning) kan visa att funktionsvärdena utanför avskärningen inte påverkar resultatet.

I det här fallet är t.ex distansen i kvadrat från origo

$x^4-x^2+1\geq x^4-2x^2+1= (x^2-1)^2$

Sätter vi in villkoret $|x|\geq 2$ inser vi att

$x^4-x^2+1\geq 9$

Så på den kompakta mängden $|x|\leq2$ har avståndsfunktionen ett minsta värde mindre än 9.

Tack så mycket!

Svara

Visa senaste svar