Hur motiverar jag att ett polynom inte går att faktorisera längre?
Om jag faktoriserar ett polynom, så får jag ett uttryck bestående av flera faktorer, dessa är i sig polynom av olika grad. Oftast är faktorerna av grad 0 eller 1 och dessa har jag bara lärt mig att de inte går att faktorisera längre, men jag kan inte motivera varför. Men det finns ju även faktorer av högre grad som inte går att faktorisera (e.g. (x^2+4)). Så hur vet man när man är färdig med faktoriseringen av ett polynom?
I för sig kanske allt går att faktorisera ner till första graden om man också använder komplexa tal? Och sen finns det någon regel som säger att polynom av första graden inte går att faktorisera?
Målet med faktorisering är att bryta ned ett uttryck så att du kan skriva det som enklare produkter. Det innebär att du kan faktorisera ett polynom, , så länge det finns lösningar till ekvationen . Det går att använda komplexa tal som rötter, men vanligtvis brukar man endast titta på reella tal. Uttrycket har inga reella rötter, och kan därmed inte faktoriseras mer. :) Det finns nog även vissa som skulle hävda att ett uttryck som skulle vara färdigfaktoriserat, eftersom det blir så krångliga siffror, men det är nog mer en smaksak. :)
Smutstvätt skrev:Målet med faktorisering är att bryta ned ett uttryck så att du kan skriva det som enklare produkter. Det innebär att du kan faktorisera ett polynom, , så länge det finns lösningar till ekvationen . Det går att använda komplexa tal som rötter, men vanligtvis brukar man endast titta på reella tal. Uttrycket har inga reella rötter, och kan därmed inte faktoriseras mer. :) Det finns nog även vissa som skulle hävda att ett uttryck som skulle vara färdigfaktoriserat, eftersom det blir så krångliga siffror, men det är nog mer en smaksak. :)
Om jag kan faktorisera ett polynom p(x) så länge det finns lösningar till ekvationen p(x)=0 borde jag då inte kunna faktorisera p(x)=x+1 (eftersom x=-1 är en lösning)?
Eller det kan jag kanske? Jag kan bryta ut 1 i alla evighet?
Om jag kan faktorisera ett polynom p(x) så länge det finns lösningar till ekvationen p(x)=0 borde jag då inte kunna faktorisera p(x)=x+1 (eftersom x=-1 är en lösning)?
p(x)=x+1 är redan fördigfaktoriserad - den består av en enda faktor. Eftersom x=-1 är en lösning, är funktionen p(x)=x-(-1)=x+1.
Smaragdalena skrev:Om jag kan faktorisera ett polynom p(x) så länge det finns lösningar till ekvationen p(x)=0 borde jag då inte kunna faktorisera p(x)=x+1 (eftersom x=-1 är en lösning)?
p(x)=x+1 är redan fördigfaktoriserad - den består av en enda faktor. Eftersom x=-1 är en lösning, är funktionen p(x)=x-(-1)=x+1.
Jag är inte bekväm med att endast säga att x+1 är färdigfaktoriserad och består av en faktor. Det besvarar inte varför x+1 är färdigfaktoriserad.
För heltalsfaktorisering kan jag ju enkelt motivera att en faktor är färdigfaktorerad genom att säga att den är ett primtal. Finns det något motsvarande för polynomfaktorisering?
Om faktoriseringen endast består av 1) konstanter 2) förstagradsfaktorer och 3) andragradsfaktorer som saknar reella nollställen, så anser jag att faktoriseringen är klar.
Ursäkta det slarviga inlägget. Det bör stå "icke-triviala lösningar till", och inte "lösningar till". Jag tänkte inte på fallet då det finns precis en rot. Ett polynom p(x) är färdigfaktoriserat när det har precis en lösning p(x) = 0, och ingen koefficient kan brytas ut (givet att termerna i faktorn fortfarande är heltal, annars kan du fortsätta i all evighet). (x + 1) är då färdigt, medan (2x + 4) inte är färdigt, men (3x + 1) ses som färdigt, då det är klumpigt att skriva .
resetpassbroken skrev:Smaragdalena skrev:Om jag kan faktorisera ett polynom p(x) så länge det finns lösningar till ekvationen p(x)=0 borde jag då inte kunna faktorisera p(x)=x+1 (eftersom x=-1 är en lösning)?
p(x)=x+1 är redan fördigfaktoriserad - den består av en enda faktor. Eftersom x=-1 är en lösning, är funktionen p(x)=x-(-1)=x+1.
Jag är inte bekväm med att endast säga att x+1 är färdigfaktoriserad och består av en faktor. Det besvarar inte varför x+1 är färdigfaktoriserad.
För heltalsfaktorisering kan jag ju enkelt motivera att en faktor är färdigfaktorerad genom att säga att den är ett primtal. Finns det något motsvarande för polynomfaktorisering?
x+1 har graden 1, och eftersom produkten av två polynom har ett gradtal som är summan av de båda polynomens gradtal, så kan en faktorisering av x+1 bara ha en faktor med grad 1 och ett godtyckligt antal med grad 0 (vilket är konstanter). Så det enda man kan göra i faktoriseringsväg med x+1 är att bryta ut en konstant.
Om man vill införa en sorts polynom (förutom konstanter) som fungerar som primfaktorer så är det lämpligt att ta dem med koefficient 1 för termen med högst gradtal.
Sedan beror det på vilken talmängd som koefficienterna ligger i. Om de är komplexa, så är alla faktorer av grad 1, om de är reella så är de kanske av grad 2 (men aldrig högre). Om de är rationella vet jag inte på rak arm hur det blir.
Diverse algebraiska strukturer som beter sig lite grann som tal, eller väldigt mycket som tal, kallas ringar (de ska ha nån operation som liknar plus och en som liknar gånger). I vissa fungerar Euklides algoritm för att hitta minsta gemensamma faktor, och de kallas euklidiska. Så de olika sorternas polynom som jag har nämnt utgör olika euklidiska ringar.
Laguna skrev:resetpassbroken skrev:Smaragdalena skrev:Om jag kan faktorisera ett polynom p(x) så länge det finns lösningar till ekvationen p(x)=0 borde jag då inte kunna faktorisera p(x)=x+1 (eftersom x=-1 är en lösning)?
p(x)=x+1 är redan fördigfaktoriserad - den består av en enda faktor. Eftersom x=-1 är en lösning, är funktionen p(x)=x-(-1)=x+1.
Jag är inte bekväm med att endast säga att x+1 är färdigfaktoriserad och består av en faktor. Det besvarar inte varför x+1 är färdigfaktoriserad.
För heltalsfaktorisering kan jag ju enkelt motivera att en faktor är färdigfaktorerad genom att säga att den är ett primtal. Finns det något motsvarande för polynomfaktorisering?
x+1 har graden 1, och eftersom produkten av två polynom har ett gradtal som är summan av de båda polynomens gradtal, så kan en faktorisering av x+1 bara ha en faktor med grad 1 och ett godtyckligt antal med grad 0 (vilket är konstanter). Så det enda man kan göra i faktoriseringsväg med x+1 är att bryta ut en konstant.
Om man vill införa en sorts polynom (förutom konstanter) som fungerar som primfaktorer så är det lämpligt att ta dem med koefficient 1 för termen med högst gradtal.
Sedan beror det på vilken talmängd som koefficienterna ligger i. Om de är komplexa, så är alla faktorer av grad 1, om de är reella så är de kanske av grad 2 (men aldrig högre). Om de är rationella vet jag inte på rak arm hur det blir.
Diverse algebraiska strukturer som beter sig lite grann som tal, eller väldigt mycket som tal, kallas ringar (de ska ha nån operation som liknar plus och en som liknar gånger). I vissa fungerar Euklides algoritm för att hitta minsta gemensamma faktor, och de kallas euklidiska. Så de olika sorternas polynom som jag har nämnt utgör olika euklidiska ringar.
Grymt svar!
Tack er andra också. Nu har jag bättre förståelse för det här.
