Hur många tangenter har kurvan y=x^3? (Matematik/Universitet)

Rita.

Laguna skrev:
Rita.

Det gjorde jag.

Det är bra om du visar bilden, funktionen och tangenterna

Som du vet är tangenter en rät linje som kan beskrivas med y = kx+m

Vidare har en tangentss ekvation samma värde på k som funktionens derivata har i tangeringspunkten., det kan du utnyttja

Dessutom vet du att tangenterna går genom en känd punkt, en annan punkt på tangenterna är gemensam med funktionen

Ture skrev:
Det är bra om du visar bilden, funktionen och tangenterna

Som du vet är tangenter en rät linje som kan beskrivas med y = kx+m

Vidare har en tangentss ekvation samma värde på k som funktionens derivata har i tangeringspunkten., det kan du utnyttja

Dessutom vet du att tangenterna går genom en känd punkt, en annan punkt på tangenterna är gemensam med funktionen

kan du också lägga in några möjliga tangenter som går genom den angivna punkten? Eller i alla fall 1!

Ture skrev:
kan du också lägga in några möjliga tangenter som går genom den angivna punkten? Eller i alla fall 1!

Aa det gjorde jag. Vad gör jag nu? Jag får första räta linjen till y=12x-20

hur kom du fram till den linjen?

Ture skrev:
hur kom du fram till den linjen?

Deriverade kurvan och satte in x =2 för att hitta k värdet. Sedan visste vi att tangentens lutning är detsamma som kurvans så jag satte upp y=kx+m. K-värdet är klart och vi sätter in y=4 och x=2 så löser vi ut m.

Problemet är att den givna punkten (2,4) inte ligger på kurvan, utan tangenten ska gå genom den och dessutom genom tangeringspunkten.

Nedan ser du ett förslag på tangent som går genom 2,4

Eftersom vi inte vet tangeringspunktens koordinater kan vi kalla x-värdet för a.

Vilket värde får derivatan i tangeringspunkten, uttryckt i a?

Hur ser tangentens ekvation ut om du sätter in ovanstående?

Ture skrev:
Problemet är att den givna punkten (2,4) inte ligger på kurvan, utan tangenten ska gå genom den och dessutom genom tangeringspunkten.

Nedan ser du ett förslag på tangent som går genom 2,4

Eftersom vi inte vet tangeringspunktens koordinater kan vi kalla x-värdet för a.

Vilket värde får derivatan i tangeringspunkten, uttryckt i a?

Hur ser tangentens ekvation ut om du sätter in ovanstående?

Hur vet vi att punkten ej ligger på kurvan? Min skiss blev ju så att den faktiskt ligger på punkten. Jag vet ej vilken tangent punkt du menar..

Sätt in x = 2 i funktionen!

Ture skrev:
Sätt in x = 2 i funktionen!

Då får vi y=8

Ja, och inte 4!

Ture skrev:
Ja, och inte 4!

Aa okej

Vi har en punkt och tangentpunkt och derivatan av y=x^3

Då kan du svara på frågorna jag ställde i inlägg #10!

Ture skrev:
Då kan du svara på frågorna jag ställde i inlägg #10!

Jag förstår ej dem.

om du deriverar funktionen och sätter in tangeringspunktens x-koordinat så får du tangentens lutning.

Nu vet vi inte något siffervärde på tangeringspunktens x-koordinat så vi kallar den för a.

Vad får du om du gör det?

Ture skrev:
om du deriverar funktionen och sätter in tangeringspunktens x-koordinat så får du tangentens lutning.

Nu vet vi inte något siffervärde på tangeringspunktens x-koordinat så vi kallar den för a.

Vad får du om du gör det?

y'=3a^2

Ja, och vad blir då k-värdet?

och hur ser tangentens ekvation ut då?

Ture skrev:
Ja, och vad blir då k-värdet?

och hur ser tangentens ekvation ut då?

K värdet i vilken punkt?

I den tangeringspunkt som har det ännu okända x-värdet a.

Ture skrev:
I den tangeringspunkt som har det ännu okända x-värdet a.

Det blir y'=3a^2*a=3a^3

vad blir k-värdet?

hur ser tangentens ekvation med det k-värdet

Ture skrev:
vad blir k-värdet?

hur ser tangentens ekvation med det k-värdet

k-värdet=3a^3

Tangentens ekv blir då

y=3a^3x+a^3-3a^4

Nej det är fel.

Derivatan av x³ är 3x^2, sätter vi in x =a får vi att tangentens lutning är 3a² .

När vi har en tangents ekvation , som är en rät linje, y = kx+m.

Sätt in värdet på k, vad får du då

Ture skrev:
Nej det är fel.

Derivatan av x³ är 3x^2, sätter vi in x =a får vi att tangentens lutning är 3a² .

När vi har en tangents ekvation , som är en rät linje, y = kx+m.

Sätt in värdet på k, vad får du då

Aa juste sorry. Då får vi y=3a^2x-2a^3

Nej, varför tror du att m= -2a³ ?

Ture skrev:
Nej, varför tror du att m= -2a³ ?

Jag tror ej det. Jag stoppade in tangeringspunkten men det kanske man ej ska göra. Tangentens ekv ser ut såhär nu y=3a^2x+m

Just så, för att bestämma a kan vi sätta in två punkter, få fram 2 ekvationer samt lösa ut m och a.

vilka två punkter kan vi sätta in i tangentens ekvation?

Ture skrev:
Just så, för att bestämma a kan vi sätta in två punkter, få fram 2 ekvationer samt lösa ut m och a.

vilka två punkter kan vi sätta in i tangentens ekvation?

(2,4) och( a,a^3)

Ekv 1

4=6a^2+m

Ekv2

a^3=3a^3+m

Ja, då är det bara att lösa ut a och m…

Ture skrev:
Ja, då är det bara att lösa ut a och m…

Gjort det o fick lösningar. a=1 ,a2=sqrt(2) och a3=-sqrt(2)

edit för snabb...

Ture skrev:
edit för snabb...

Jag fick dessa 3 punkter. (1,1) ,(sqrt(2),2sqrt(2)),(-sqrt(2),-2sqrt(2))

Är det verkligen rätt?

x = 1 är jag med på, de andra två tror jag du löst fel.

Ture skrev:
Är det verkligen rätt?

x = 1 är jag med på, de andra två tror jag du löst fel.

Ja asså jag stoppade bara mina två andra a i punkten (a,a^3). Tangeringspunkten är väl (a,a^3) ?

Ja, men jag trorr att dina x-värden blev fel, visa hur du räknade fram dem

Ture skrev:
Ja, men jag trorr att dina x-värden blev fel, visa hur du räknade fram dem

du har fått fel i polynomdivisionen,

kvoten får jag till a²-2a-2 , du har fått a² -2

Jag får de tre tangeringspunkterna till

(1,1)

$(1 + \sqrt{3}, {(1 + \sqrt{3})}^{3}) (1 - \sqrt{3}, {(1 - \sqrt{3})}^{3})$

när jag plottar kurvan och de tre tangenterna ser det ut så här

Notera att de tre tangenterna alla går genom punkten (2,4)

Ture skrev:
Jag får de tre tangeringspunkterna till

(1,1)

$(1 + \sqrt{3}, {(1 + \sqrt{3})}^{3}) (1 - \sqrt{3}, {(1 - \sqrt{3})}^{3})$

när jag plottar kurvan och de tre tangenterna ser det ut så här

Notera att de tre tangenterna alla går genom punkten (2,4)

Aa de har jag fått också.