11 svar

158 visningar

hur många sätt om en från varje representant? (diskret matematik)

hänger ej med på hur denna ska räknas ut.

Jag tänker att om det ska vara minst en från varje kön så tänker jag $(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})$ där n = män + kvinnor - 2 personer som ska sitta från början = 16 + 12 - 2= 26 och k = resten av antalet personer efter att man satt en kvinna och en man i gruppen dvs k = 7 - 2 = 5

så $(\begin{matrix} 26 \\ 5 \end{matrix})$ men det är tydligen fel, hur ska jag tänka istället?

"Åtminstone" är en synonym till "minst".

Ordet "minst" eller dess synonymer i sannolikhetsproblem ska inducera en ryggradsreflex att "komplementhändelse" är ett användbart begrepp.

Om du får ledningen "komplementhändelse", ger det några idéer?

Din metod har även potential men är inte komplett eftersom du inte tar hänsyn till att det finns olika sätt att välja de två könsrepresentanterna och att denna handling måste faktoriseras in. Det är dock inte så enkelt som att multiplicera med 16 och 12 vilket vore en rimlig gissning men inte stämmer.

SeriousCephalopod skrev:
"Åtminstone" är en synonym till "minst".
Ordet "minst" eller dess synonymer i sannolikhetsproblem ska inducera en ryggradsreflex att "komplementhändelse" är ett användbart begrepp.
Om du får ledningen "komplementhändelse", ger det några idéer?
Din metod har även potential men är inte komplett eftersom du inte tar hänsyn till att det finns olika sätt att välja de två könsrepresentanterna och att denna handling måste faktoriseras in. Det är dock inte så enkelt som att multiplicera med 16 och 12 vilket vore en rimlig gissning men inte stämmer.

jag har precis börjat läsa denna kurs så har dessvärre inte utvecklat några ryggradsreflexer kring detta :(

komplementhändelse är något jag för första gånger fick läsa i ditt inlägg, har dessvärre ingen aning om vad det skulle betyda eller innebära

okej kan man bryta ner denna fråga i något enklare då? förstår inte hur jag ska tänka mer än det jag har tänkt redan, förstår inte heller vad jag tänkt fel därav är det stopp för mig

Komplementhändelse är en metod man brukar stöta på i Ma1 och ibland i 9:an men kan förstås varit under ett annat namn.

Idén är inte mer än att man beräknar antalet grupper med minst en man och en kvinna genom att beräkna totala antalet möjliga grupper och sedan ta bort de som endast har män och de som endast har kvinnor

(Totala antalet möjliga grupper) = (Antalet grupper med minst en man och en kvinna) + (Antalet enkönade grupper)

SeriousCephalopod skrev:
Komplementhändelse är en metod man brukar stöta på i Ma1 och ibland i 9:an men kan förstås varit under ett annat namn.
Idén är inte mer än att man beräknar antalet grupper med minst en man och en kvinna genom att beräkna totala antalet möjliga grupper och sedan ta bort de som endast har män och de som endast har kvinnor
(Totala antalet möjliga grupper) = (Antalet grupper med minst en man och en kvinna) + (Antalet enkönade grupper)

oj det var kanske 18 år sedan jag gick i 9an/gymnasiet och då hette det Matte A, längst vägen har jag glömt det mesta tyvärr

totala antal möjliga grupper, är det då $(\begin{matrix} 28 \\ 7 \end{matrix})$ ?

antalet enkönade grupper är ju (som vi kommit fram till i en annan tråd) $(\begin{matrix} 12 \\ 7 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 16 \\ 7 \end{matrix})$

så om totala antal möjliga grupper är rätt ska jag alltså subtrahera dessa?

jag förstod inte riktigt den här idén med Komplementhändelse, vad är det man gör egentligen eller vart kan man läsa om detta?

Ibland är det enklare att beräkna något man kan ta bort från en helhet än att beräkna delen.

Är inte mer än det men problem med.ordet "minst" tenderar att vara problem där det är ett lämpligt angreppssätt.

Terminologin kommer från sannolikhetsteori där om A och B är komplementära händelser (vilket betyder att någon av dem måste ske men endast en av dem kan ske) så gäller P(A) + P(B) = 1.

Det finns två olyckliga utfall, att det endast väljs ut män eller att det endast väljs ut kvinnor.

Så på hur många sätt kan bara män väljas och på hur många sätt kan bara kvinnor väljas ut. Räkna ut det och subtrahera det från alla sätt man kan välja 7 personer av 26.

Det blir fel eftersom du missar fall. Till exempel när du plockar ut de första två tar du inte hänsyn till att du kan välja dessa två på flera sätt. Det lättaste sättet när det står minst är därför att använda komplementhändelse.

ohnej skrev:
Det blir fel eftersom du missar fall. Till exempel när du plockar ut de första två tar du inte hänsyn till att du kan välja dessa två på flera sätt. Det lättaste sättet när det står minst är därför att använda komplementhändelse.

jag förstår fortfarande inte det där med komplementhändelse så jag lämnar den utanför mina tankar

så jag ska alltså räkna ut på hur många sätt jag kan välja 7 personer av 26 och inte 28 eftersom att två går bort till vardera representant?

och sen ska jag subtrahera det med antalet sätt det går att välja ett lag som av bara kvinnor respektive män?

har jag förstått det rätt då?

Kombinatorik handlar ofta om perspektiv! Ett jobbigt problem kan bli väldigt mycket enklare om man ser det från rätt håll, och det kan t.ex. innebära att man formulerar om frågan eller delar upp problemet i enklare delproblem.

Här är två förslag (försök gärna förstå båda varianterna!):

Approach #1: Detta är det som redan har föreslagits i tråden.

Börja med att fundera på följande, enklare fråga:

Hur många sätt finns det att bilda ett lag på 7 personer om vi, för ett ögonblick, bortser från kravet på att laget måste bestå av minst en man och en kvinna?

Eftersom kön då blir helt irrelevant, så är det enkelt att räkna ut!

Visa spoiler

Vi ska välja $7$ personer bland $16+12$ personer, så svaret blir $\binom{28}{7}$ (vilket är ett väldigt stort tal!).

Så vad händer nu om vi faktiskt tar hänsyn till det där jämställdhetskravet? Ja, då måste vi räkna bort en del av alla de här grupperna.

Hur många av alla grupperna kommer bara bestå av män? De grupperna måste räknas bort!

Visa spoiler

Antalet sätt att välja ut 7 stycken personer, när man bara har de 16 männen att välja på, är $\binom{16}{7}$ .

Hur många av alla grupperna kommer bara bestå av kvinnor? De grupperna ska också räknas bort!

Visa spoiler

Antalet sätt att välja ut 7 stycken personer, när man bara har de 12 kvinnorna att välja på, är $\binom{12}{7}$ .

Antalet möjliga grupper som återstår när vi har gjort de här avräkningarna blir alltså...

Visa spoiler

$\binom{28}{7}-\binom{16}{7}-\binom{12}{7}$ .

En snabb koll med WolframAlpha är fortfarande ett fruktansvärt stort tal! ^_^

Approach #2: Man kan se det som att det finns 6 olika typer av grupper som uppfyller kraven i uppgiften:

6 män och 1 kvinna.
5 män och 2 kvinnor.
4 män och 3 kvinnor.
3 män och 4 kvinnor.
2 män och 5 kvinnor.
1 man och 6 kvinnor.

Hur många grupper av den första typen finns det? (Tänk efter innan du kollar!)

Visa spoiler

Antalet sätt att välja ut de sex männen är $\binom{16}{6}$ .

Antalet sätt att välja ut den enda kvinnan som ska ingå i gruppen blir $\binom{12}{1}$ .

Eftersom valet av männen och valet av kvinnorna är oberoende kan vi bara multiplicera ihop antalen, för att komma fram till att antalet grupper med 6 män och 1 kvinna är $\binom{16}{6}\cdot \binom{12}{1}$ .

Hur många av den andra typen? Tredje? Fjärde? Femte? Sjätte?

Lägg ihop svaren, och voilà: du har det totala antalet grupper som uppfyller jämställdhetskravet!

Vad kommer du fram till? Återigen: tänk efter och ge dig själv en ärlig chans att komma fram till svaret själv, innan du kollar spoilern!

Visa spoiler

Det blir ett ganska långt uttryck, men det är i alla fall fullt görbart att slå på miniräknaren:

$\binom{16}{6}\cdot \binom{12}{1}+\binom{16}{5}\cdot \binom{12}{2}+\binom{16}{4}\cdot \binom{12}{3}+\binom{16}{3}\cdot \binom{12}{4}+\binom{16}{2}\cdot \binom{12}{5}+\binom{16}{1}\cdot \binom{12}{6}$ .

Vill man spara bläck kan man använda summasymbolen, ifall ni har gått igenom det:

$\displaystyle\sum_{k=1}^6\textstyle \binom{16}{7-k}\cdot\binom{12}{k}\,.$

Kolla gärna själv i WolframAlpha att svaret blir samma sak som det vi kom fram till med Approach #1.

Om du inte förstår det där med komplementhändelse så behöver du repetera det. Det är nödvändiga förkunskaper.

Svara

Visa senaste svar