14 svar

605 visningar

Hur många rötter?

a) $3 x^{4} + 4 x^{3} - 36 x^{2} - a = 0$

b) $e^{x} = b x^{2}$

c) $\cos x = c x$

Hur beror antalet rötter av konstanten a, b resp, c? Utred detta med så generella metoder som möjligt.

a) $3 x^{2} (x^{2} + \frac{4 x}{3} - 12) - a = 0 \Rightarrow$ (Sedan använder jag mig av pq-formeln)

$x = - \frac{4}{3} \pm \frac{\sqrt{112}}{3}$

$x_{1} = - \frac{4}{3} + \frac{\sqrt{112}}{3} x_{2} = - \frac{4}{3} - \frac{\sqrt{112}}{3} x_{3} = 0$

Svar: Ekvationen har 3 rötter.

Det är en fjärdegradsekvation , vilket innebär att det kan högst finnas 4 rötter. När jag skulle lösa ut x räknade jag inte in a och antog att det inte påverkade antal rötter. Däremot om a var lika med termerna som dras roten ur:

$a = - \frac{\sqrt{112}}{3}$

skulle ekvationen endast ha 2 rötter.

Såhär tänkte jag, dock vet jag inte om det är rätt. Kan jag verkligen bortse från a när jag löser ut x?

b) $e^{x} = b x^{2} \Rightarrow x = \ln (b x^{2})$

Om b = 0 $\ln (b x^{2}) = O d e f i n e r a d$

Det innebär att ekvationen inte har några rötter om b = 0.

Ekvationen är en andragradsekvation, vilket innebär att det kan högst finnas 2 rötter. Jag har nu beskrivit hur b påverkar antal rötter, men jag har ju inte tagit reda på hur många rötter det egentligen finns. Hur kan jag göra det utifrån:

$x = \ln (b x^{2})$

c) Ekvationen är av första grad, vilket innebär att det högst kan finnas 1 rot.

$O m c \leq 1 o c h x \leq 1 \Rightarrow c x \leq 1 \Rightarrow$

$\cos x = c x \Rightarrow x = \cos^{- 1} c x \Rightarrow x = d e f i n e r a d$

Om $O m c > 1 e l l e r x > 1$ $\Rightarrow x = \cos^{- 1} c x = o d e f i n e r a t$

Svar: Ekvationen har 1 rot så länge c och x inte är större än 1. Om c eller x är större än 1 har ekvationen inga rötter. Har jag löst uppgiften på rätt sätt?

Det kan hjälpa en hel del att rita.

Detivator kommer också till användning.

Det stämmer inte att b och c har gradtal två respektive ett. Gradtal gäller bara för polynom, inte för t.ex. exponential- eller trigonometriska funktioner.

Laguna skrev:
Det kan hjälpa en hel del att rita.

Detivator kommer också till användning.

Det stämmer inte att b och c har gradtal två respektive ett. Gradtal gäller bara för polynom, inte för t.ex. exponential- eller trigonometriska funktioner.

1. Har jag gjort helt fel på fråga a)?

2. Ska jag använda derivera alla tre uppgifter (a,b,c) eller endast en eller två av dem?

pq-formeln ser inte helt rättanvänd ut, men om du söker x som gör parentesen till noll så måste a vara noll för att ekvationen ska stämma.

Har vänsterledet något globalt minimum?

1. Jag ser nu att det ska stå -2/3 och inte -4/3. Glömde dividera det med två.

2. Om jag deriverar ekvationen får jag:

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 72 x = 0 \Rightarrow$ (Sedan bryter jag ut 12x och får:)

$x^{2} + x - 6 = 0 \Rightarrow$ (Använder sedan pq-formeln:)

$x = - \frac{1}{2} \pm \frac{5}{2}$

$x_{1} = 2$

$x_{2} = - 3$

$x_{3} = 0$

Vad gör jag härnäst?

Rita.

Laguna skrev:
Rita.

Ska jag använda mig av teckentabell för att rita funktionens graf och grafen till funktionens första derivata?

räknar ni komplexa rötter?

ItzErre skrev:
räknar ni komplexa rötter?

Jag förstår vad komplexa rötter är, men jag är inte säker om det gäller för den här uppgiften.

Det skulle väl ha stått om vi kan räkna med komplexa rötter så jag antar bara att det inte gäller.

Hurså?

Om komplexa rötter gäller så är bara dubbelrötter relevant enligt algebrans fundamentalsats

ItzErre skrev:
Om komplexa rötter gäller så är bara dubbelrötter relevant enligt algebrans fundamentalsats

Så du menar att där grafen för funktionen skär x-axeln för ett viss värde på x är derivatan lika med 0.

f(x) = 0

f'(x) = 0

Hur hjälper det här mig lösa uppgiften:

$a) 3 x^{4} + 4 x^{3} - 36 x^{2} - a = 0$

och besvara "Hur beror antalet rötter av konstanten a?"

b) $e^{x} = b x^{2}$ (deriverar)

$\Rightarrow e^{x} = 2 b x \Rightarrow x = \ln 2 b x$

Ska jag börja såhär? Hur går jag vidare nu?

Den första uppgift har 4 komplexa rötter (räknat med sin multiplicitet) och det gäller alldeles oberoende av konstanten a. Denna uppgift skulle alltså vara trivial om man räknade med komplexa rötter.

För b) Finns det flera fall

b<0, finns det ingen lösning

0<b<(1/4) e^2, finns det en lösning

b=(1/4) e^2, två lösningar

(1/4) e^2< b, 3 lösningar

när b=(1/4) e^2, blir e^x och bx^2 tangenta varandra. Då har du en dubbelrött.

Davitk skrev:
För b) Finns det flera fall

b<0, finns det ingen lösning

0<b<(1/4) e^2, finns det en lösning

b=(1/4) e^2, två lösningar

(1/4) e^2< b, 3 lösningar

när b=(1/4) e^2, blir e^x och bx^2 tangenta varandra. Då har du en dubbelrött.

Hej! Hur kom du fram till att det är just när b=(1/4)*e^2 som det lir en tangent till e^x?

Svara

Visa senaste svar