Hur många rötter?

På a) får du fina extrempunkter och dra slutsatsen hur många lösningar f(x)=a har;

På b) hade jag studerat e^x och b x^2 för olika val av b

Det finns ett speciellt b som ger en tangering av e^x

Vad krävs vid en tangering?

c) Man kan beräkna det n:te lokala maximipunkten x=A för cos(x) och om riktningskoefficienten c>0 är mindre än 1/A vad sker då? Börja med en närliggande maximpunkt och arbeta dig utåt och se vad som händer med antalet skärningar. Även här har vi ett tangentfall. En lite knepig uppgift. 

Tack så mycket! Har bara lite frågor, på b) finns det väl massor av skärningspunkter där den blå skär den gula? vid en tangering skär den endast vid en punkt eller hur?

vegangunnar skrev:

Tack så mycket! Har bara lite frågor, på b) finns det väl massor av skärningspunkter där den blå skär den gula? 

Nej, antalet skärningspunkter beror på vilket värde b har.

Jag visar ett par exempel.

Exempel 1: b = -1

Exempel 2: b = 0

Exempel 3: b = 1

Exempel 4: b = 10

vid en tangering skär den endast vid en punkt eller hur?

Det beror på vad du menar. Vilken punkt?

har pausat matten pga svenska np men är på igen. Har löst ut uppgift a. På b får jag att när b > 1 har lösningen alltid 3 svar. Vilket program använder du dig av för att lösa ut uppgift c? För mig på geogebra får jag fler lösningar där c är <0.4 men det är jättemånga, jag har lite svårt att förstå sambandet? Tack  c:

vegangunnar skrev:

har pausat matten pga svenska np men är på igen. Har löst ut uppgift a. På b får jag att när b > 1 har lösningen alltid 3 svar. Vilket program använder du dig av för att lösa ut uppgift c? För mig på geogebra får jag fler lösningar där c är <0.4 men det är jättemånga, jag har lite svårt att förstå sambandet? Tack  c:

B.

Om b är negativ är högerledet en konkav parabel med max i (0,0). Då e^x>0 för alla reella x skär de aldrig

b<0: Ingen skärning

Om b=0 är högerledet 0 för alla x. Då e^x>0 för alla reella x skär de aldrig

b=0: Ingen skärning

Om 0<b<e^2/4 har vi en skärningspunkt:

Om b=e^2/4 har vi 2 skärningspunkter:

Om b>e^2/4 har vi 3 skärningspunkter:

Man får bara ge e^x "tid" att komma ifatt bx^2, vilket den alltid gör, då e^x är mycket "kraftigare" i tillväxt än något polynom, bara x är tillräckligt stort. När väl e^x skär bx^2 för stora x kommer bx^2 aldrig "ikapp" igen.

Hur finner jag "brytpunkten" e^2/4?

För detta b-värde har vi en tangering och vid tangering gäller att y-värdet skall vara lika OCH derivatan skall vara lika. Alltså har vi att

e^x = b x^2

e^x = 2 b x    (derivatan av e^x = e^x)

Dividera dessa ekvationer ledvis

1=x/2 vilket ger x=2

För x=2 har vi e^2=2b*2 dvs. b=e^2/4.

C

Denna uppgift är lite klurigare. Kanske, undertiden jag funderar på någon slug lösning, någon volontär har ett smart angreppssätt som gör den tydlig och enkel?

C

Denna är svårare. Med tanke på att uppgift är formulerad som "utred detta med så generella metoder som möjligt" så kanske man får begränsa sig i "fullständigheten", iaf på en sluten form.

Här är några (lösa) tankar och funderingar.

Börja med specialfallet då c=1/(2π)

Det är helt klart vi har 3 skärningar. Om vi ökar c *lite* kommer den räta linjen att tangera cos(x) och vi får 1 skärning mindre. Att bestämma denna punkt (och därmed c) är inte helt trivialt. Det leder till ekvationen

1/x+tan(x)=0

som inte har en sluten form utan man får använda Newton-R för att lösa den.

Om vi ökar c lite till, så att tangering ej sker, har vi endast 1 skärningspunkt;

Om vi istället minskar c får vi

och vi har 3 skärningar igen. Det kommer inte att bli fler förrän vi når nästa tangeringspunkt;

Då antalet skärningar är 4.

Ökar vi c till 1/4π lägger vi till en skärning;

vilket kanske inte framgår klart här i bilden, men en förstoring visar på;

Man inser snart hur detta upprepas.

De enkla är börja fokusera på max-punkterna. De är enkla att finna, de är x=2πk, k=1, 2, ...

Sedan kan du säga vad som händer om du minskar eller ökar c i relation till c=1/(2π k).

Problemet är tangeringspunkten. Den ges alltså av lösningen

1/x+tan(x)=0

och är inte lätt att beräkna. Om vi använder NR med start på 2π fås 6.12125 vilket (självklart) ligger t.v. om maxpunkten. Efterhand som vi rör oss ill höger på x-axeln och c minskar kommer denna tangeringspunkt att 'glida' närmare maxpunkten, t.ex. vid x=20π och c=1/(20π) fås tangeringspunkten 19.9949π. De kommer aldrig sammanfalla men det blir svårt (omöjligt) att finna en sluten form för c för denna tangeringspunkt.

Det bästa du kan göra är nog att skriva en "uppsats" över just detta och endast explicit behandla de enklare max-punkterna. Det är lite svårt från uppgiften att avgöra hur utförligt ett svar skall vara, eller om författaren tänkt igenom detta grundligt över vilka problem som uppstår.

Nu har vi endast betraktat x≥0 och en liknande diskussion får föras för x<0;

Notera här att det finns 5 skärningar för x>0 men 4 för x<0.

Onödigt svår uppgift som inte ger så mycket, IMO.

Någon annan som kan bidra med någon hjälp avs. detta till TS?