Hur många olika "ord" kan man bilda av bokstäverna i ordet BANAN?

Hej

a) Varför delar du med fem? Antalet sätt du kan arangera två "A" är $2!$, detsamma med två "N". Vilket gör att antalet ord du kan bilda är $\frac{5!}{2!·2!}=30$ ord.

b) Tänkt på samma sätt men att nu måste dom två första bokstäverna vara "AN". 

Kommer du vidare?

Om man kunde byta ut vilket A eller N som helst  mot vilket annat A eller N, så skulle orden BANAN och BANNA vara samma, och så är det ju inte. Hur skall du justera din formel för att det skall bli rätt?

Ett sätt att tänka:

Bilda ord av BANXY. Hur många blir det? Ser du att du kan para ihop orden två och två, där A och X byter plats? Till exempel BANXY och BXNAY.

De här paren är ett och samma ord, när vi inte har X utan A som det skall vara. Hur många olika ord kan du alltså bilda av BANAY?

...och så gör man på samma sätt med N och Y.

Okej, vi har ju två A och två N och ett B dvs tre olika bokstäver. När man har valt första bokstaven, finns det två kvar att välja på och sedan ett. Blir det då $P(3,3) = 3·2·1 = 6$ ord? 

Nej, nu räknade du ut hur många ord man kan bilda av BAN.

Okej, om man tar allt från början så att jag kan hänga med, är det detta jag har förstått:

Första bokstaven ska vara A och andra bokstaven ska vara N. Vi har två A och två N i ordet BANAN, men precis som ni säger om första A byter plats med andra A och samma sak för N blir det samma ord. 

Det blir lätt missförstånd. Löser du uppgift b) nu eller a)?

Bubo skrev:

Det blir lätt missförstånd. Löser du uppgift b) nu eller a)?

uppgift b) 

Som du säger första bokstaven måste vara "A" där det finns att välja mellan två "A" följt av ett "N" där du kan välja bland två "N".

Detta ger dig att första bokstaven kan väljas på två sätt och den andra samma sak där. Nu har tre bokstäver kvar som du kan använda för den tredje bokstaven i ordet, därefter två och ett. 

Vilket ger $2·2·3·2·1=24$ ord, men nu är det samma sak "A(1)N(1)" "A(2)N(2)" där (1) och (2) ska försöka representera indexet för en bokstav av den ena sorten. Som du märker får du då samma ord och måste då dela de totala antalet ord med hur mycket då?

På b-uppgiften går det även att tänka att man redan vet att de första två ska vara A och N och att man bara behöver placera de sista tre bokstäverna (jag tror det var nåt liknande du tänkte några inlägg uppåt):

$\boxed{A}\ \ \ \ \boxed{N}\ \ \ \ \overset{3}{\boxed{\color{transparent}A}}\ \ \ \ \overset{2}{\boxed{\color{transparent}A}}\ \ \ \ \overset{1}{\boxed{\color{transparent}A}}$

jonis10 skrev:

Som du säger första bokstaven måste vara "A" där det finns att välja mellan två "A" följt av ett "N" där du kan välja bland två "N".

Detta ger dig att första bokstaven kan väljas på två sätt och den andra samma sak där. Nu har tre bokstäver kvar som du kan använda för den tredje bokstaven i ordet, därefter två och ett. 

Vilket ger $2·2·3·2·1=24$ ord, men nu är det samma sak "A(1)N(1)" "A(2)N(2)" där (1) och (2) ska försöka representera indexet för en bokstav av den ena sorten. Som du märker får du då samma ord och måste då dela de totala antalet ord med hur mycket då?

 Då dividerar jag med $2! · 2!$så att jag får 24 / 4 = 6 ord? 

AlvinB skrev:

På b-uppgiften går det även att tänka att man redan vet att de första två ska vara A och N och att man bara behöver placera de sista tre bokstäverna (jag tror det var nåt liknande du tänkte några inlägg uppåt):

$\boxed{A}\ \ \ \ \boxed{N}\ \ \ \ \overset{3}{\boxed{\color{transparent}A}}\ \ \ \ \overset{2}{\boxed{\color{transparent}A}}\ \ \ \ \overset{1}{\boxed{\color{transparent}A}}$

 Så man kunde tänka  P(3,3) = 3·2·1 = 6 ? 

detrr skrev:

AlvinB skrev:

På b-uppgiften går det även att tänka att man redan vet att de första två ska vara A och N och att man bara behöver placera de sista tre bokstäverna (jag tror det var nåt liknande du tänkte några inlägg uppåt):

$\boxed{A}\ \ \ \ \boxed{N}\ \ \ \ \overset{3}{\boxed{\color{transparent}A}}\ \ \ \ \overset{2}{\boxed{\color{transparent}A}}\ \ \ \ \overset{1}{\boxed{\color{transparent}A}}$

 Så man kunde tänka  P(3,3) = 3·2·1 = 6 ? 

 Japp. Man får ju samma svar med båda metoder. :-)

Ja, på b) gäller det att bilda ord av de bokstäver som finns kvar, alltså att bilda ord av BAN. 

Exakt vad jag skrev tidigare, men då trodde jag att du försökte lösa a).