Hur många lösningar har funktionen

Hej!

Jag behöver hjälp med denna upgiften:

Hur många lösningar har ekvationen $\frac{e^{x} + x}{e^{x} - x} = k$ för olika värden på den reella konstanten k?

Jag har börjat med att rita funktionen $f (x) = \frac{e^{x} + x}{e^{x} - x}$ . Så jag har räknat ut derivatan till $f' (x) = \frac{2 e^{x} (1 - x)}{{(e^{x} - x)}^{2}}$ och räknat ut f'(x)=0 till x=1,samt gjort ett teckenstudium. Sen har jag även letat efter asymptot och hittat y=-1 och y=1.Samt ritat den men nu vet jag inte vad jag ska göra för att hitta hur många lösningar det finns?

Hej!

Kan du visa ditt teckenstudium?

Mvh

Hej!

Javisst! men det inget speciellt:

f'(x) + 0 -

(typ så här fast jag skrev och f(x) med pilar upp eller ner)

Precis

Först ska man ta reda på definitionsmängden vilket är

$- 1 < f (x) \leq \frac{e + 1}{e - 1} D e t t a b e t y d e r a t t n ä r - 1 < k \leq \frac{e + 1}{e - 1} ä r e k v a t i o n e n l ö s b a r$

Kan du komma vidare?

Okej, dit kom jag också. Ska jag då lösa olikheten $k \leq \frac{e + 1}{e - 1} - 1$ för att komma fram till svaret?

Hera skrev:
Okej, dit kom jag också. Ska jag då lösa olikheten för att komma fram till svaret?

Nej, du behöver inte göra för att olikheten redan är lös.

Jag menar att du ska skriva att "när k $\leq$ -1 eller k> $\frac{e + 1}{e - 1}$ så har ekvationen ingen lösning".

Kan du försöka att ta reda på när ekvationen har a) en enda lösning b) två lösningar?

Om du ritar grafen till funktionen så kan det underlätta för dig också.

Okej, men då har väl k bara en lösning i t.ex. k=0.5 för att kurvan bara går genom y=0.5 en gång och två i t.ex. k=2 för att den gör en båge och går genom y=2 två gånger?

Räcker det då att svar med det?

Hera skrev:
Okej, men då har väl k bara en lösning i t.ex. k=0.5 för att kurvan bara går genom y=0.5 en gång och två i t.ex. k=2 för att den gör en båge och går genom y=2 två gånger?

Räcker det då att svar med det?

Det stämmer bra, men du ska skriva generellt

När -1<k<=1 eller om k =(e+1)/(e-1)så har ekvationen en enda lösning

När 1<k<(e+1)/(e-1) så har ekvationen två lösningar.

Mvh

Tack så jättemycket! Nu förstår jag!

Hej,

Ekvationen kan skrivas

$\displaystyle\frac{e^x+x}{e^x-x} = k \Longleftrightarrow\frac{e^x}{x} = 1+\frac{2}{k-1}.$

På intervallet $(0,\infty)$ har $e^x/x$ ett globalt minimum $e$ då $x=1$ .
På intervallet $(-\infty,0)$ är $e^x/x$ strängt avtagande från -0 (asymptotiskt) mot $-\infty$ .

Detta leder till följande slutsatser om antalet lösningar till den givna ekvationer.

Två lösningar om $1+\frac{2}{k-1}>e$ .
Inga lösningar om $0<1+\frac{2}{k-1}<e$
En lösning om $1+\frac{2}{k-1}<0$ eller $1+\frac{2}{k-1}=e$

Svara

Visa senaste svar