Hur många lösningar har ekvationen?

Ett förslag är att du börjar med att derivera funktionen $f(x)=\frac{x}{3}-3\cos{(x)}-9$. Vad blir derivatan? Hur många nollställen har den? Vad säger detta om funktionen? :)

Smutstvätt skrev:

Ett förslag är att du börjar med att derivera funktionen $f(x)=\frac{x}{3}-3\cos{(x)}-9$. Vad blir derivatan? Hur många nollställen har den? Vad säger detta om funktionen? :)

om jag deriverar den så får jag 3sin+1/3, stämmer det?

Ser rätt ut.

qwerty1234 skrev:

Ser rätt ut.

gör jag då

3sin + 1/3=0

Amanda9988 skrev:

qwerty1234 skrev:

Ser rätt ut.

gör jag då

3sin + 1/3=0

Det går inte att skriva vara "sin" utan något argument, det är lika dumt som att skriva $\sqrt{ }$utan någonting inuti.

Smaragdalena skrev:

Amanda9988 skrev:

Visa föregående citat

qwerty1234 skrev:

Ser rätt ut.

gör jag då

3sin + 1/3=0

Det går inte att skriva vara "sin" utan något argument, det är lika dumt som att skriva $\sqrt{ }$utan någonting inuti.

vad menar du?

När du skriver "3sin + 1/3=0" så saknar det matematisk mening.

Denna tråd ser jag nu hade glidit ur mitt synfält. Eftersom det gått så lång tid skriver jag ned en lösning här. Om det inte hjälper dig, Amanda9988, hjälper det säkert någon annan i framtiden. :)

Först och främst, diskussionen om "3sin + 1/3=0". Problemet här är "sin"-delen. sin(us) är en funktion. För att sinus ska ha något entydigt värde måste vi ge sinusfunktionen något tal att arbeta med, precis som att roten ur är en funktion, ett sätt att räkna. Vi behöver skriva något under rottecknet, typ $\sqrt{\mathbf{4}}$, för att vi ska få ut någon information från funktionen roten ur. En funktion / operation inom matematiken är som ett rivjärn. Ett rivjärn kan förändra formen på olika matvaror, men vi måste ge rivjärnet något att riva för att den ska kunna göra sitt jobb. Ekvationen du tänker på är därför $3\sin \left(\mathit{x}\right)+\frac{1}{3}=0$.

Tanken i denna uppgift är följande: En funktion bestående av en rät linje, $y=\frac{x}{3}$ och en sinus- eller cosinusfunktion, $-3\cos{(x)}$ kommer att gå uppåt, men kommer också att oscillera (pendla upp och ned) som en sinus-/cosinusfunktion gör. Utseendet kommer därmed att vara något i denna stil: 

Vi behöver inte bestämma lösningarna (den minsta lösning som ska anges måste vi använda andra metoder för att hitta), utan endast räkna antalet. Vi kan se att det endast finns ett smalt intervall på x-axeln där funktionen är tillräckligt nära noll för att cosinusfunktionens pendlingar ska vinna över den räta linjens värde, eftersom cosinusfunktionens värde endast går mellan -1 och 1. I ovanstående graf är det intervallet markerat nedan:

Om vi kan hitta detta intervall, och vi vet hur många vändpunkter funktionen har inom intervallet, kan vi lista ut hur många rötter funktionen har. Vi kan hitta ett ungefärligt intervall genom att närma oss intervallet från negativ respektive positiv oändlighet. Funktionen är $f(x)=\frac{x}{3}-3\cos{(x)}-9$. Så fort $\frac{x}{3}-9$ är inom intervallet $[-3,3]$, är cosinustermen, $-3\cos{(x)}$ tillräcklig för att funktionens värde ska kunna bli noll, och vi har då hittat vårt intervall. Vi definierar därför funktionen $g(x)=\frac{x}{3}-9$‚ och undersöker när denna närmar sig $[-3,3]$: 

$$\begin{gathered} \frac{x_{\mathrm{undre}}}{3}-9=-3 \\ {x}_{\mathrm{undre}}=18 \end{gathered}$$ och $$\begin{gathered} \frac{x_{\mathrm{övre}}}{3}-9=3 \\ {x}_{\mathrm{övre}}=36 \end{gathered}$$. 

Vi har alltså intervallet $[18,36]$ där vi vill leta rötter. 

Vi undrar nu hur många gånger funktionen svänger. Vi vet att om funktionens derivata har tre nollställen, har funktionen tre vändpunkter (eller terasspunkter). Vi deriverar funktionen som du gjort, och får $3\sin{(x)}+\frac{1}{3}=0$, vilket vi kan skriva om till $\sin{(x)}=\frac{1}{9}$. Perioden av $\sin{(x)}$ är $2\mathrm{\pi }$. Det innebär att funktionen har två nollställen i intervallet $\lbrack0,2\mathrm\pi)$. 

Vi behöver nu leta upp den första och sista roten. Eftersom vi har vårt intervall vet vi var vi ska börja leta. Här behöver vi en miniräknare. Vi kan närma oss den minsta roten genom att börja att beräkna värdet av $f(18)$, och sedan gå uppåt tills vi korsar x-axeln. $f(19)$, $f(20)$, $f(21)$ ligger under x-axeln, men $f(22)$ ligger ovanför x-axeln. Okej, vi provar med $f(21,5)$, det är fortfarande ovanför. Vi provar med ett lite mindre värde, kanske $f(21,25)$. Det är fortfarande ovanför x-axeln. Ett ännu lite mindre värde, kanske $f(21,125)$, och det ligger under x-axeln. Lösningen till ekvationen i uppgiften ligger alltså mellan $x=21,125$ och $x=21,25$. Då är vi tillräckligt nära för att vi ska kunna använda $x=21,125$ som nedre gräns. Vi använder samma process för att hitta ett ungefärligt värde för den sista/största roten – prova ett x-värde, och justera x-värdet för att komma närmare och närmare roten. Då får vi den ungefärliga roten 32,25. 

Vårt mer exakta intervall är nu alltså $21,125\leq x\leq32,25$. Detta intervall är $32,25-21,125=11,125$ enheter långt. Vår derivering gav oss information om att det fanns två rötter i varje intervall av längd $[0,\mathrm{2\pi})$ (en rot per intervall av längd pi). Det ger oss $\frac{11,125}{\mathrm{\pi }}\approx 3,54$ rötter. Eftersom vi inte kan ha 0,54 rötter får vi endast plats med tre rötter inom intervallet, men! Vi hade ju också två rötter i kanterna som vi måste räkna med. Det ger oss totalt fem rötter i intervallet. 

Detta är en otroligt krånglig metod som en bör dubbelkolla grafiskt, men det borde fungera, tekniskt sett. Med det sagt, det känns inte helt rättvist om ni ska behöva lösa detta utan att ha tillgång till någon form av grafritande verktyg. :)