Hur många av heltalsfaktorerna i produkten 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 är udda?

Om de frågar efter heltalsfaktorer så finns inget entydigt svar eftersom talet kan delas upp i heltalsfaktorer på flera olika sätt.

Om de däremot frägar efter primtalsfaktorer så finns bara en uppdelning och du kan då använda att talet i stort sett redan är faktoriserat.

10 = 2*5

9 = 3*3

8 = 2*2*2

7 = 7

6 = 2*3

5 = 5

De udda faktorerna är alltså mycket riktigt 3, 3, 3, 5, 5 och 7.

De frågar om heltalsfaktorer och svaret är 24 udda heltalsfaktorer. Tävlingen är Pythagoras Quest kvaltest 2018 fråga 15. (http://www.pythagorasquest.se/gamla-prov)

Yngve skrev:

Om de frågar efter heltalsfaktorer så finns inget entydigt svar eftersom talet kan delas upp i heltalsfaktorer på flera olika sätt.

Om de däremot frägar efter primtalsfaktorer så finns bara en uppdelning och du kan då använda att talet i stort sett redan är faktoriserat.

10 = 2*5

9 = 3*3

8 = 2*2*2

7 = 7

6 = 2*3

5 = 5

De udda faktorerna är alltså mycket riktigt 3, 3, 3, 5, 5 och 7.

Tja, vi kan titta på hur vi kan kombinera de olika faktorerna till andra, udda heltal. För att göra detta, tänk på att om det ingår en eller flera jämna faktorer, kommer produkten att bli jämn. 

Vi behöver därför endast titta på de udda faktorerna. Hur kan vi kombinera 3, 3, 3, 5, 5 och 7? :)

Endast treor: $3, 3·3, 3·3·3 \Rightarrow 3, 9, 27$ (tre heltalsfaktorer)

Endast femmor: $5, 5·5 \Rightarrow 5, 25$ (två heltalsfaktorer)

Endast sjuor: 7 (en heltalsfaktor)

Treor och femmor: 

$$\begin{gathered} 3·5=15 \\ 3·3·5=45 \\ 3·3·3·5=135 \\ 3·5·5=75 \\ 3·3·5·5=235 \\ 3·3·3·5·5=675 \end{gathered}$$

Treor och sjuor: 

$$\begin{gathered} 3·7=21 \\ 3·3·7=63 \\ 3·3·3·7=189 \end{gathered}$$

Femmor och sjuor: 

$$\begin{gathered} 5·7=35 \\ 5·5·7=175 \end{gathered}$$

Treor, femmor och sjuor: 

$$\begin{gathered} 3·5·7= \\ 3·3·5·7= \\ 3·3·3·5·7= \\ 3·5·5·7= \\ 3·3·5·5·7= \\ 3·3·3·5·5·7= \end{gathered}$$

Totalt får vi då 23 heltalsfaktorer, samt 1, som vi får om vi inte inkluderar någon av dem. :)

Smutstvätt skrev:

Tja, vi kan titta på hur vi kan kombinera de olika faktorerna till andra, udda heltal. För att göra detta, tänk på att om det ingår en eller flera jämna faktorer, kommer produkten att bli jämn. 

Vi behöver därför endast titta på de udda faktorerna. Hur kan vi kombinera 3, 3, 3, 5, 5 och 7? :)

9 * 3 * 5 * 5 * 7

27 * 5 * 5 * 7

135 * 5 * 7

675 * 7 

4725 * 1  (Om detta räknas som en faktor). 

Sen har vi också 

3 * 3 *3 * 25 * 7 

3 * 3 * 3 * 175 

3 * 3 * 525

1575 * 3 

Men... Det blir för många faktorer, hur vet man inte om man missar något (Nu har jag ju missat en massa). Jag kan ju heller inte ta 6! för då kommer jag få många faktorer som är samma. 

Smutstvätt skrev:

Endast treor: $3, 3·3, 3·3·3 \Rightarrow 3, 9, 27$ (tre heltalsfaktorer)

Endast femmor: $5, 5·5 \Rightarrow 5, 25$ (två heltalsfaktorer)

Endast sjuor: 7 (en heltalsfaktor)

 

Treor och femmor: 

$$\begin{gathered} 3·5=15 \\ 3·3·5=45 \\ 3·3·3·5=135 \\ 3·5·5=75 \\ 3·3·5·5=235 \\ 3·3·3·5·5=675 \end{gathered}$$

 

Treor och sjuor: 

$$\begin{gathered} 3·7=21 \\ 3·3·7=63 \\ 3·3·3·7=189 \end{gathered}$$

 

Femmor och sjuor: 

$$\begin{gathered} 5·7=35 \\ 5·5·7=175 \end{gathered}$$

 

Treor, femmor och sjuor: 

$$\begin{gathered} 3·5·7= \\ 3·3·5·7= \\ 3·3·3·5·7= \\ 3·5·5·7= \\ 3·3·5·5·7= \\ 3·3·3·5·5·7= \end{gathered}$$

 

Totalt får vi då 23 heltalsfaktorer, samt 1, som vi får om vi inte inkluderar någon av dem. :)

Men, detta verkade ganska segt, finns det ingen bättre metod? 

Tja, vi måste inte beräkna precis vad varje faktor blir. Vi kan notera att vi har tre treor, två femmor och en sjua. Vi kan då beräkna $\underset{\mathrm{antal} \mathrm{treor}}{\underbrace{3}}·\underset{\mathrm{antal} \mathrm{femmor}}{\underbrace{2}}$ för antal faktorer med treor och femmor, $\underset{\mathrm{antal} \mathrm{sjuor}}{\underbrace{1}}·\underset{\mathrm{antal} \mathrm{femmor}}{\underbrace{2}}$ för antal faktorer med sjuor och femmor, och $\underset{\mathrm{antal} \mathrm{sjuor}}{\underbrace{1}}·\underset{\mathrm{antal} \mathrm{treor}}{\underbrace{3}}$ för antal faktorer med sjuor och treor. 

Sist men inte minst skulle vi då beräkna $\underset{\mathrm{antal} \mathrm{sjuor}}{\underbrace{1}}·\underset{\mathrm{antal} \mathrm{femmor}}{\underbrace{2}}·\underset{\mathrm{antal} \mathrm{treor}}{\underbrace{3}}$. 

Totalt får vi då $6+6+2+3+6+1=24$. :) Det gäller dock att vara försiktig om vi räknar på detta sätt, så att vi inte råkar räkna några produkter flera gånger. :)

Smutstvätt skrev:

Tja, vi måste inte beräkna precis vad varje faktor blir. Vi kan notera att vi har tre treor, två femmor och en sjua. Vi kan då beräkna $\underset{\mathrm{antal} \mathrm{treor}}{\underbrace{3}}·\underset{\mathrm{antal} \mathrm{femmor}}{\underbrace{2}}$ för antal faktorer med treor och femmor, $\underset{\mathrm{antal} \mathrm{sjuor}}{\underbrace{1}}·\underset{\mathrm{antal} \mathrm{femmor}}{\underbrace{2}}$ för antal faktorer med sjuor och femmor, och $\underset{\mathrm{antal} \mathrm{sjuor}}{\underbrace{1}}·\underset{\mathrm{antal} \mathrm{treor}}{\underbrace{3}}$ för antal faktorer med sjuor och treor. 

Sist men inte minst skulle vi då beräkna $\underset{\mathrm{antal} \mathrm{sjuor}}{\underbrace{1}}·\underset{\mathrm{antal} \mathrm{femmor}}{\underbrace{2}}·\underset{\mathrm{antal} \mathrm{treor}}{\underbrace{3}}$. 

Totalt får vi då $6+6+2+3+6+1=24$. :) Det gäller dock att vara försiktig om vi räknar på detta sätt, så att vi inte råkar räkna några produkter flera gånger. :)

Jag hänger med vad du menar och att du säger att samma faktor inte ska dyka upp flera gånger men metoden du använde i början kunde av slump (om siffrorna var rätt) bli likadana faktorer och eftersom du räknade aldrig ut vad exempelvis är 3*5*7 är så kunde du ha fått samma faktor två gånger. 

Om du har t.ex. fem treor, sju femmor och tre sjuor, så kan du välja antalet treor på sex sätt (inklusive att inte ha med någon), femmorna på åtta sätt och sjuor på fyra sätt. Det är bara att multiplicera ihop.

Övning: gör så för Smutstvätts exempel och se om du får 24.

Smutstvätt skrev:

Totalt får vi då 23 heltalsfaktorer, samt 1, som vi får om vi inte inkluderar någon av dem. :)

Var kom 1 ifrån?

joculator skrev:

Smutstvätt skrev:

Totalt får vi då 23 heltalsfaktorer, samt 1, som vi får om vi inte inkluderar någon av dem. :)

Var kom 1 ifrån?

1 är ju en faktor i alla tal, men vi får dock inte med den när vi tittar på hur vi kan kombinera de olika primtalsfaktorerna.