Hur löser man detta gränsvärde?

Hur ser det ut om du bryter ut x² i både täljare och nämnare? (Du behöver multiplicera ihop nämnaren först.)

$\frac{x^2(12+\sqrt{x})}{4x^2+4x+1}=\frac{x^2(12+\sqrt{x})}{x^2(4+4\sqrt{x}+{\displaystyle \frac{1}{x^2}})}$

Tillägg: 25 okt 2022 15:22

Jag ser dock inte hur det hjälper mig vidare

Jag tror jag fattar nu!

Om man förkortar både täljare och nämnare med $\sqrt{x}$ får man något man kan jobba med.

$\frac{12+\sqrt{x}}{4+4\sqrt{x}+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}}=\frac{{\displaystyle \frac{12}{\sqrt{x}}}+1}{{\displaystyle \frac{4}{\sqrt{x}}}+4+{\displaystyle \frac{1}{x^{3/2}}}}$

Då blir $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{12x^2+x}{{(2x-1)}^2}=\frac{0+1}{0+4+0}=\frac{1}{4}$

Stämmer det?

Kolla om din faktorisering är korrekt! Får du tillbaka det du hade från början, om du multiplicerar in x² i parenteserna?

Ojsan, där tänkte jag lite knasigt. Det borde ju såklart bli så här:

$\frac{x^2(12+{\displaystyle \frac{1}{x}})}{x^2(4+{\displaystyle \frac{4}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{x^2}})}$

Då borde det väl bli så här?:

$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{12x^2+x}{{(2x-1)}^2}=\frac{12+0}{4+0+0}=3$

Tillägg: 25 okt 2022 15:39

Men hur är det meningen att man ska veta att man ska bryta ut $x^2$?

Finns det någon generell metod för sådant här eller måste man bara "se" det?

Standardmetod när x går mot oändligheten: Bryt ut största möjliga gemensamma faktor.

Smaragdalena skrev:

Standardmetod när x går mot oändligheten: Bryt ut största möjliga gemensamma faktor.

Menar du gemensam mellan nämnare och täljare?

Man bryter ut det som dominerar.

I täljaren så dominerar x² och i nämnaren så dominerar x², då bryter du ut eller dividerar med x², båda leder till exakt samma sak. Jag föredrar att bryta ut personligen.

Om du hade haft x³ i täljaren men endast x² i nämnaren, så bryter du ut x³/x² eller dividerar med x³. Och så vidare.

Dracaena skrev:

Man bryter ut det som dominerar.

I täljaren så dominerar x² och i nämnaren så dominerar x², då bryter du ut eller dividerar med x², båda leder till exakt samma sak. Jag föredrar att bryta ut personligen.

Om du hade haft x³ i täljaren men endast x² i nämnaren, så bryter du ut x³/x² eller dividerar med x³. Och så vidare.

Skulle du kunna visa vad du menar med ett exempel?

Absolut!

$\lim_{x \to \infty} \dfrac{5x^3+19x+1}{3x^2+4}$, Här dominerar $x^3$ i täljaren men $x^2$ dominerar i nämnaren, vi bryter ut de:

$\lim_{x \to \infty} \dfrac{x^3}{x^2} \cdot \dfrac{5+(19x)/x^3+1/x^3}{3+4/x^2}$ men eftersom $\dfrac{x^3}{x^2} \rightarrow \infty$ då $x \rightarrow \infty$ så går allting mot $\infty$.

Jag skulle ha brutit ut x² från både täljare och nämnare även  i Dracenas exempel. Smaksak.

Dracaena skrev:

Absolut!

 

$\lim_{x \to \infty} \dfrac{5x^3+19x+1}{3x^2+4}$, Här dominerar $x^3$ i täljaren men $x^2$ dominerar i nämnaren, vi bryter ut de:

$\lim_{x \to \infty} \dfrac{x^3}{x^2} \cdot \dfrac{5+(19x)/x^3+1/x^3}{3+4/x^2}$ men eftersom $\dfrac{x^3}{x^2} \rightarrow \infty$ då $x \rightarrow \infty$ så går allting mot $\infty$.

Hur vet du att $\frac{x^3}{x^2}\to \infty$ när $x\to \infty$?

Blir inte det bara $\frac{\infty }{\infty }$, vilket är odefinierat?

Jag skulle se det som självklart att x går mot oändligheten när x går mot oändligheten.

Att $x\to \infty$när $x\to \infty$?

Va? Skrev du fel av misstag, eller vad menar du?

$\dfrac{x^3}{x^2}=x$ efter vi har förkortat. 

Vi kommer alltså ha något oändligt stort multiplicerat med något som går mot ett tal. Vi ser detta direkt eftersom alla termer går mot 0 förutom konstanterna, så vi får $\infty \cdot \dfrac{5}{3}$. 

referera gärna också till detta inlägget:

https://www.pluggakuten.se/trad/jonas-massons-video-generaliserade-integraler/?order=all#post-052be54e-47bb-492c-b5c7-af38011be6b8

Ja såklart, man kan ju förenkla!

Men hur skulle man göra om man inte förenklade? Skulle man kunna stoppa in "oändligheten" ändå och få följande?:

$\frac{{\infty }^3}{{\infty }^2}=\infty$

Tillägg: 25 okt 2022 19:36

Jag undrar alltså om det är möjligt att räkna med oändligheten som en variabel.

naytte skrev:

Att $x\to \infty$när $x\to \infty$?

Va? Skrev du fel av misstag, eller vad menar du?

Nej, jag skrev precis vad jag menade. Är du med på att $\frac{x^3}{x^2}=x$?

naytte skrev:

Ja såklart, man kan ju förenkla!

Men hur skulle man göra om man inte förenklade? Skulle man kunna stoppa in "oändligheten" ändå och få följande?:

$\frac{{\infty }^3}{{\infty }^2}=\infty$

---

Tillägg: 25 okt 2022 19:36

Jag undrar alltså om det är möjligt att räkna med oändligheten som en variabel.

Nej, så får man absolut inte göra! Oändligheten är inte ett tal som man får stoppa in och räkna med. inf/inf är odef. Har vi exempelvis lnx/x så har vi inf/inf, men x>>lnx så att det går mot 0. Men detta tillhör mer envarren. Jag vet inte riktigt vad du läser då jag har sett frågor på universitet, matte 2, matte 3 osv. Men generellt sätt, om du inte har något liknande det jag pratar om i länken ovan så är det odef. Då får man jobba vidare med uttrycket. Det problemet sker aldrig när man jobbar med rena polynom som vi har pratat om i denna tråden.

Nu händer det att man stoppar in oädnligheten som ett tal för att klargöra vad som händer, men man får inte göra det egentligen.