Hur löser man den här integralen?

Har en uppgift som låter så här:
Låt X vara exponentialfördelar med väntevärde 2 och definiera $Y = \sqrt{X}$

Beräkna E[Y] exakt.
(Ledning: Utnyttja att om Z är en N(0,1)-fördelad stokastisk variabel så är E[Z^2]=1)

Jag har beräknat täthetsfunktionen och ska nu beräkna:

E[Y]= $\int_{- \infty}^{\infty} y^{2} e^{- \frac{y^{2}}{2}} d y$ , hur går jag till väga för att göra detta?

Svaret ska bli $\sqrt{\frac{π}{2}}$ =1.25 om det är till någon hjälp

Tacksam för svar.

Partialintegrering borde kunna fungera.

Laguna skrev:
Partialintegrering borde kunna fungera.

Absolut men vet inte hur jag beräknar

$\int_{}^{} e^{\frac{- x^{2}}{2}} d x$

Krasten skrev:
Laguna skrev:
Partialintegrering borde kunna fungera.
Absolut men vet inte hur jag beräknar
$\int_{}^{} e^{\frac{- x^{2}}{2}} d x$

Den kan du slå upp. Förutom nån konstant i exponenten och framför funktionen så är det fördelningsfunktionen för normalfördelningen, och integrerat från minus oändligheten till plus oändligheten har den ett exakt uttryckbart värde.

Laguna skrev:
Krasten skrev:
Laguna skrev:
Partialintegrering borde kunna fungera.
Absolut men vet inte hur jag beräknar
$\int_{}^{} e^{\frac{- x^{2}}{2}} d x$

Den kan du slå upp. Förutom nån konstant i exponenten och framför funktionen så är det fördelningsfunktionen för normalfördelningen, och integrerat från minus oändligheten till plus oändligheten har den ett exakt uttryckbart värde.

Den blev 2pi tror jag, sätter jag sedan bara in det i formeln för partialintegration? verkar inte bli rätt svar

Krasten skrev:
Laguna skrev:
Krasten skrev:
Laguna skrev:
Partialintegrering borde kunna fungera.
Absolut men vet inte hur jag beräknar
$\int_{}^{} e^{\frac{- x^{2}}{2}} d x$

Den kan du slå upp. Förutom nån konstant i exponenten och framför funktionen så är det fördelningsfunktionen för normalfördelningen, och integrerat från minus oändligheten till plus oändligheten har den ett exakt uttryckbart värde.
Den blev 2pi tror jag, sätter jag sedan bara in det i formeln för partialintegration? verkar inte bli rätt svar

Det brukar bli nånting med roten ur pi, och här tror jag det blir roten ur 2pi.

Ditt uttryck för väntevärdet är nog riktigt, så när som på den undre integrationsgränsen, som ska vara 0 för en exponentialfördelning. Pröva!

Det finns också en enklare väg att gå, om det bara gäller att beräkna väntevärdet för en funktion av en stokastisk variabel.

Visa spoiler

$E [g (X)] = \int_{- \infty}^{\infty} g (x) f (x) d x$ , där f(x) är täthetsfunktionen för X

Svara

Visa senaste svar