Hur löser jag ekvationen y´= ay; punkter(2,5) och (4,7). Var skär lösningskurvan y - axeln? (Matematik/Matte 5/Differentialekvationer)

I lösningen har du y=Cexp(-ax), men var fick du minustecknet ifrån? Du ska använda randvillkoren (de givna punkterna) till att bestämma C och a, som ju är annars okända konstanter. När det är klart kan du se var någonstans x=0 - det är där kurvan skär y-axeln.

Notera att ekvationen är homogen och lösningen är y = C*e^(ax). Tydligen behöver du bestämma både a och c. Det bör du kunna göra genom att använda dina villkor:

C*e^(2a) = 5

C*e^(4a) =7

Tar du ln av båda ekvationerna får du följande system av två linjära ekvationer för t=ln(C) och a:

t + 2a = ln(5)

t + 4a = ln(7)

Resten bör vara enkel.

Hej! Tack för svaret. Jag förstår att jag ska bestämma konstanten C, men jag vet inte hur. Att uppställningen blev fel beror på att jag har problem med att tolka uppgiften rätt. Jag behöver en "steg - för - steg" - förklaring, då jag har problem med problemlösning och tillämpningar när det kommer till uppställningen av talet, vilket innebär ett förtydligande av hur jag bestämmer konstanterna C respektive a. När det kommer till minustecknet du frågade om, gällde detta den allmänna lösningen, vilket visade sig vara fel, det vill säga y=Ce^-ax på formen y´=ay. Men du menade troligtvis y´ - ay = 0, vilket gör att den allmänna lösningen blir y= Ce^ax. Men jag förstod inte var du fick "y=Cexp(-ax)" ifrån.

Hej pbadziag.

Jag förstår att jag ska lösa de båda ekvationerna i ett ekvationssystem, men jag förstår inte hur jag löser ut "t". Däremot tror jag att det ska gå att lösa ut konstanten C när jag har löst ut konstanten a, om "C" är synonymt med "t".

Notera att det inte finns något minus i lösningens exponent! Derivatan av e^(ax) är ju a*e^(ax).

När du redan har dina ekvationer, löser du dem som i matte 2 (om du inte klarar det, rekommenderar jag att inte ta sig på matte 5):

subtraktionsmetoden ger direkt: 2a = ln(7)-ln(5), vilket tillsammans med den första ekvationen ger

t = 2ln(5)-ln(7) = ln(25/7) = ln(C)

Det ger C = 25/7

a = (ln(7/5))/2

Lösningen blir då

y = C*e^(ax) = (25/7)*e^((ln(7/5)*x/2 = (25/7)*(7/5)^(x/2)

Tack för svaret, pbadziag. När jag läste matematik 2, så föredrog min lärare additionsmetoden framför subtraktionsmetoden. Läraren sa då att det är så lätt att göra fel med subtraktionsmetoden. Det innebär inte att jag inte har räknat med denna metod. Ett förtydligande för att undvika missuppfattningar:Det är själva uppställningen och tolkningen av uppgiften jag har problem med. Jag kan lösa uppgiften när jag väl har förstått den. Du har helt rätt i att "C = 25/7" då det står (0, 3,57) i facit i boken. Så jag skulle gärna vilja att du visar hur ekvationssystemet ser ut, då du kom fram till det rätta svaret, så att jag förstår hur du resonerar.

Den metoden som pbadziag använde ÄR additionsmetoden - man tog (första ekvationen)+ (- andra ekvationen) så att t tog ut varandra, och kunde sedan beräkna a. Den andra metoden (som jag brukar föredra) kallas substitutionsmetoden. När man har ekvationerna t + 2a = ln(5) och t + 4a = ln(7) så skriver man om exempelvis den första och får t = ln(5)-2a, och så sätter man in det i den andra ekvationen och får ln(5) - 2a + 4a = ln(7), vilket blir identiskt med pbadziags ekvation när man förenklar lite. När du löst ut a sätter du in det i vilken som helst av ursprungsekvationerna för att få fram C.

Om du har problem med att ställa upp och tolka de här uppgifterna har jag svårt att förstå hur du har kunnat få godkänt i Ma3 och Ma4.

Tack för svaret, Smaragdalena!

Det var jag som missförstod pbadziag. Ni har rätt angående substitutionsmetoden. Vad gäller det som du skrev om "...problem med att ställa upp och tolka de här uppgifterna...", så antar jag att det inte är menat som en förolämpning, utan en uppmuntran, då vi alla har våra svårigheter. Mina svårigheter ligger i att förstå och tolka uppgifterna, vilket i sin tur beror på vilka förutsättningar man har fått här i livet. Tack för att du tog dig tid att förklara. Jag är helt på det klara med hur du använder dig av substitutionsmetoden, vilket i detta sammanhang verkar vara den metod som är bäst för att lösa ut konstanten C.

I det här fallet går det precis lika bra med additionsmetoden som med substitutionsmetoden - vilken man väljer beror på hur ens hjärnceller är kopplade eller något lknande, eller möjligen på vilken metod man har lärt sig först.

Att kunna ställa upp och tolka uppgifter är det viktigaste i matematiken - att göra beräkningarna kan man säga åt en dator att göra, men jag trot inte att man har kommit så långt att en dator kan läsa en text och förstå vilka samband som är viktiga, och vilka sifferuppgifter som möjligen bara är trams i sammanhanget.

Jag förstår, smaragdalena, att det är viktigt att kunna tolka och ställa upp uppgifter i matematiken. Men vilken uppgift datorn har, i samband med tolkning och uppställningsförmåga, förstår jag inte. Du menar alltså att "jag själv ska avgöra vad som är rimligt och inte", om jag har förstått dig rätt. Uppgiften som jag frågade efter är redan besvarad genom både dig och pbadziag, så jag förstår inte vart du vill komma med den sista förklaringen som du skrev. Jag lärde mig förmodligen både additionsmetoden och substitutionsmetoden nästan ungefär samtidigt, tror jag. Som sagt; det beror på hur hjärncellerna är kopplade. Eller på pedagogiken. Eller båda. Eller ingen av dem. Det är många faktorer som spelar in hur man tänker och vilken "ryggsäck" man är utrustad med.

Nej, det jag försöker säga om datorerna är att de är bra på att räkna men dåliga på matematik. Att färstå vilka ekvationer man skall använda och vilka variabler man behöver införa tror jag att det behövs en hjärna till, och det är det som verkligen är matematik.

Då menar du antagligen att datorer är dåliga på att dra slutsatser, vilket det krävs en mänsklig hjärna till?

Ja, det är ungefär det jag menar. Datorer är fantastiska på beräkningar, och kan hålla koll på mycket mera fakta än du eller jag (eller någon annan människa) kan, och jag tror att man kommer att kunna få datorer att kunna sammanväga fakta och räkna ut en hel del saker i framtiden, men jag tror inte att datorer kommer att kunna lära sig att verkligen tänka - tänka nya tankar, som inte någon redan programmerat in i dem.

Precis exakt så menar jag också. Den mänskliga hjärnan är mycket uppfinningsrik, och finner sina egna vägar. Men om en dator kan "tänka" är omtvistat. En del påstår att den gör det med hjälp av AI, andra menar att datorn inte kan göra detta då den saknar en, som du säger "mänsklig hjärna". Ursäkta inlägget; det blev ett sidospår. Men ett intressant sådant.

Vi försöker förstå vad du har svårigheter med för att kunna hjälpa dej med det. När pbadziag skrev så här:

Tar du ln av båda ekvationerna får du följande system av två linjära ekvationer för t=ln(C) och a:
t + 2a = ln(5)
t + 4a = ln(7)
svarade du så här:
Jag förstår att jag ska lösa de båda ekvationerna i ett ekvationssystem, men jag förstår inte hur jag löser ut "t". Däremot tror jag att det ska gå att lösa ut konstanten C när jag har löst ut konstanten a, om "C" är synonymt med "t".
Jag hoppade till när du skrev "C är synonymt med t" fastän det stod t=ln(C). Så därför undrar jag om du är helt med på att C och ln(C) är olika tal. Om till exempel C=1 så är ln(C)=0.
Att du skrev att du inte förstår hur man löser ut t ur ett enkelt ekvationssystem tyder på att det är något vi bör förklara. Men vad? Om det stått t+2a=7, t+4a=11, hade du då kunnat lösa det?

Hej Henrik!

Då det var ett tag sedan jag räknade med ln och substitution, så förstod jag inte riktigt sambandet mellan "t" och "lnC", men jag förstod att jag skulle använda mig av ln, fast inte hur jag skulle ställa upp talet. Att det rörde sig om ett ekvationssystem förstod jag. Även här hade jag problem med uppställningen då, som du, pbadziag och smaragdalena skriver, inte hade en konstant "t". Det var troligtvis här som jag tappade bort mig, då jag inte förstod vad jag skulle göra. Som pbadziag skrev: "C*e^(2a) = 5". Hur får jag detta till att bli "t + 2a = ln(5)?

Ja, om jag hade förstått att jag skulle lösa ut "t" ur "t + 2a = 7" och "t + 4 = 11", så hade jag flyttat över 2a respektive 4a så att "t = 7 - 2a" och "t = 11 - 4a". Att ln C är lika med noll har jag alltid haft svårt för att förstå, då jag inte är bra på logaritmer då läraren inte gick igenom dessa särskilt noggrant då jag läste om logaritmer. Jag hoppas att dessa svar hjälpte dig något.

Aha, då förstår jag var skon klämmer. Troligen läser du inte så långsamt att du förstår. Det stod t=lnC men ändå "förstod jag inte riktigt sambandet mellan "t" och "lnC"". Ett gott råd är att läsa sakta flera gånger. Logaritmer måste du lära dej. Läs det avsnittet i din egen bok eller i Matteboken på nätet. Ekvationslösning måste du också öva på. Det du skriver här, t = 7 - 2a och t = 11 - 4a, löser inte någon ekvation. Det är ingen mening att ge sej på diffekvationer innan du kan det här, men sen blir det desto roligare.

Det är troligen så som du säger att "läsa sakta flera gånger " hjälper mig att lösa en uppgift. Jag tror att jag missförstod din avsikt när du citerade mig "...t = 7- 2a och t = 11- 4a..." Eller att jag missförstod dig rättare sagt. Jag trodde att dessa ekvationer kunde lösas genom ett ekvationssystem. Tala gärna om för mig hur jag ska lösa dessa ekvationer. Men det var inte ekvationerna ovan som uppgiften gällde, utan det ekvationssystem som pbadziag skrev om. Förklara gärna sambandet mellan dessa, då jag kan lösa ekvationer "på vanligt sätt". Det är när "ln" kommer in i sammanhanget som jag inte ser sambandet. Läs vad jag skrivit tidigare om "tolkning och uppställning". Häri ligger egentligen "svaret" på vad jag inte förstår. Det jag även har problem med är att se vilka saker som är viktiga för uppgiften. Men som du säger; om jag läser tillräckligt sakta, så kanske jag löser uppgiften till slut.

Jag hoppas att det jag skrivit ovan hjälper dig "att kunna hjälpa mig". Annars vet jag inte hur problemet ska lösas. Kanske har du fler förslag på hur uppgiften ska lösas? "Alla sätt är bra utom de dåliga". Fråga gärna om det är något jag behöver förklara, så ska jag göra mitt bästa för att ge dig ett svar.

t=7-2a och t=11-4a är ett ekvationssystem Jag skulle lösa det m h a substitutionsmetoden, d v s sätta in att t=7-2a i ekvationen t=11-4a, så att jag får ekvationen 7-2a=11-4a, som jag förenklar via 7-7-2a+4a=11-7-4a+4a till 2a=4, så a=2. Eftersom t=7-2a blir t=7-2*2=7-4=3. (Koll: 11-4a=11-4*2=11-8=3=t, stämmer!)

Du har ekvationessystemet t + 2a = ln(5) och t + 4a = ln(7). Visa här hur du löser det, så kan vi säkert hitta var det (eventuellt) går fel!

Jag gör ett försök:

- t - 2a = ln(5)

t + 4a = ln(7), vilket enligt mina beräkningar leder till 2a = - ln(5) + ln(7), och a = (-ln(5) + ln(7)/2).

(t, som är lika med ln(C) skulle då bli t = ln(7) - 4*(-ln(5) + ln(7)/2) ). Jag är osäker på minustecknet framför ln(5), och uttrycket inom parentes, men hoppas på överseende med detta tills vidare.

Du slarvar med minustecknen - ett jämnt antal gånger, så att det stämmer till slut.

Håller med om att 2a = ln 7 - ln 5. Sedan slarvar du med parentesena och delar bara ln 7 med 2. Använd istället en logaritmlag

(den på fjärde raden) för att förenkla ln 7 - ln 5.

Parenteser är jätteviktiga! Det kan bli hur fel som helst om man tabbar sig med dem.

Ursäkta mig, men nu är jag inte med på ditt resonemang. a = ((-ln(5) + ln(7)/2)), om jag har förstått dig rätt. Och ln(7) - ln(5) skulle då bli, ln(7/5),vilket dividerat med två blir:(ln(7/5)/2). Men att jag slarvar med minustecknen, det vet jag om då jag ibland har problem med negativa tal. Kom gärna med fler förslag på förbättringar. Jag blev medlem i detta forum därför att jag vill lära mig nya saker och repetera gamla saker. Logaritmlagarna hade jag glömt bort, men jag känner till dem. Tack för länken! Men när det gäller nya uppgifter så har jag svårt för att generalisera, och då vet jag inte heller vilka lagar jag ska använda. Det är detta jag är här(på forumet) för att lära mig genom att du eller någon annan förklarar för mig hur jag ska tänka. Och ja; det är viktigt med parenteser, det håller jag med om. Som jag skrev: jag var lite osäker över minustecknet och uttrycket inom parentes.

Bra att du vet en del som du behöver träna mer på! Ställ gärna många frågor här (fast en ny tråd för varje ny fråga)! Och fortsätt fråga i den här tråden tills du vet allt du behöver veta om den här uppgiften.

Jag skulle nog vilja påstå att de bästa AI-datorerna faktiskt kan "tänka". Hur förklarar man annars följande framgång? https://www.theguardian.com/technology/2017/jan/30/libratus-poker-artificial-intelligence-professional-human-players-competition

Jo, det har jag förstått att det ska vara en ny tråd för varje ny fråga, för annars kan det troligtvis bli "rörigt" om man inte håller sig till en specifik frågeställning. Hade jag rätt eller fel angående den nya uppställningen? Eller är det något som behöver rättas till? Om det dyker upp fler frågor angående lösningen på denna ekvation, så kommer jag att ställa dem.

Dina nya beräkningar ser riktigaut, men det är ofta lättare att läsa om man använder formelskrivaren till sina formler (man får fram den genom att klicka på rot-tecknet längst upp till höger i svars-rutan). Eftersom jag gärna undviker dubbla bråkstreck om jag kan, skulle jag skriva $a = \frac{\ln 1, 4}{2}$ .

Jag lade märke till "rottecknet" och tänkte att:"det kommer säkert att bli användbart så småningom". Tack för tipset! Men jag förstår inte vad du menade med "dubbla bråkstreck" - kan du komma med ett exempel på detta så att jag "ser det"? Menar du de "dubbla bråkstreck" som jag använde mig av i uppställningen av ln(7) och ln(5)? Förklara gärna hur du tänker.

(ln(7/5)/2). har två snedstreck men (ln 1,4)/2 har ett snedstreck och är därför mer lättläst.

Och skriver man $\frac{\frac{1}{2}}{3}$ eller $\frac{1}{\frac{2}{3}}$ så ser det nästan likadant ut - det skulle behövas parenteser!

(Fast formelskrivaren var lite bättre än jag trodde.)

Tack för svaret, smaragdalena. Jag kan se skillnad mellan det första talet som du skrev och det andra(hittar inte detta i formelskrivaren. Tips?) och det andra talet. Jag håller med om att parenteser skulle underlätta mycket, då de vid en första anblick ser likadana ut.

Tack Henrik för att du förklarade hur du menade med "dubbelstrecken" i samband med ln. Det är förklaringar av denna typ som jag är ute efter, då jag förhoppningsvis lättare kommer förstå sambandet/sambanden mellan olika uppgifter och vad som efterfrågas.

Formelskrivaren hittar du genom att klicka på rottecknet längst tll höger upptill i svarsrutan. När du har fått igång formelskrivaren hittar du "rakt bråkstreck" allra längst till vänster högst upp. I det första fallet klickade jag ovanför bråkstrecker och infogade ett rakt bråkstreck till, i det andra fallet klickade jag nedanför bråkstrecket och infogade ett rakt bråkstreck till. Man skulle kunna skriva $\frac{\frac{1}{2}}{3}$ respektive $\frac{1}{\frac{2}{3}}$ om man vill ha det tydligt utan parenteser. (Snett bråkstreck finns alldeles under det raka.)

Tack för tipset!