hur löser jag det här (Matematik/Matte 4/Integraler och tillämpningar)

Vill du lösa ekvationen $8 = 2 t + \frac{2 e^{- 5 t}}{5}$ ? Eller vill du göra något som har med integraler att göra, med tanke på var du har lagt tråden?

oj, förlåt, precis börjar använda akuten, gör några nybörjare fel! Jag vill faktiskt bara ha lösningen till t, med förklaring om hur man når denna lösning.

Tack, och jag få be om ursäkt...

J

Har du skrivit av uppgiften ord för ord? Om inte, så gör gärna det. Den ser ganska krånglig ut (om du inte har skrivit av den fel / jag har tolkat den fel).

en fågel faller 8m.

ekvationen som beskriver hur han faller är

v' + 5v =10

v är fashastigheten i m/s, v' är accelerationen.

vi vet också att v(t)=2-2.e^-5t

man kan också räkna ut att v'= 10e^-5t

frågan är hur länge det tar för fågeln att falla 8m

8m blir integral värdet till ekvationen v(t)=2-2.e^-5t

Därför blir det V=2t + 2/5 e^-5t=8 vilket jag måste lösa för t.

Vad tycker ni om min resonemang? Vad är t?

Skriv av uppgiften ord för ord, tack!

ok:

En fågelunge faller från en 8m hög klippa. För att förenklat beskriva fallrörelsen kan följande differentialekvation ställas upp

dv/dt + 5v = 10, där v är fallhastigheten i m/s efter tiden t sekunder.

a) visa att v(t) = 2 – 2 . e^-5t är en lösning till differentialekvationen.

b) bestäm tiden det tar för fågeln att falla 8m.

Hur kan jag svara på b)?

Tack,

J

Numeriskt.

eller grafiskt

tack. jag skulle behöva ett numeriskt förklaring. Hittar ingenting som kan hjälpa mig varken i matte 3 eller 4.

jag kommer så här långt...

8m blir integral värdet till ekvationen v(t)=2-2.e^-5t

Därför blir det V=2t + 2/5 e^-5t=8 vilket jag måste lösa för t.

Du har inte räknat helt korrekt. Sträckan den har fallit efter t sekunder är inte $2 t + \frac{2}{5} e^{- 5 t}$ . För att se att det inte kan vara det är genom att notera att efter 0 sekunder så har man fallit 0 meter. Men då $2 \cdot 0 + \frac{2}{5} e^{- 5 \cdot 0} = \frac{2}{5}$ så kan alltså uttrycket möjligen beskriva hur långa man har fallit.

Fall sträckan efter t sekunder får man genom att beräkna

$\int_{0}^{t} (2 x - 2 e^{- 5 x}) d x$

vad får du om du gör det?

Här har du ett exempel på att det är nödvändigt att skriva av uppgiften ord för ord. Du ville egentligen inte alls lösa ekvationen 2t + 2/5 e^-5t=8 utan integrera funktionen 2t + 2/5 e^-5t från 0 till 8, vilket faktiskt är betydligt enklare.

Det du får fram om du löser ekvationen 2t + 2/5 e^-5t=8 är hur lång tid det tar tills accelerationen är 8 m/s och det är inte alls vad du vill veta.

EDIT: Nu blev det fel. Du vill integrera funktionen 2t + 2/5 e^-5t från 0 till x och sedan beräkna x så att integralen för värdet 8.

Tack Stokastisk!

@smaragdalena nu tänker du väl ändå snett? Den integralen skulle ju vara sträckan den faller de första 8 sekunderna, inte tiden det tar att falla 8 meter.

tack, i framtiden så får jag vara säker att skriva ut hela frågan.

tyvärr sitter jag fast här.

svaret i svarshäftet är att man löser den här ekvationen:

man alltså integrerar (2 - 2e^-5t)dt mellan 0 och x, och det måste motsvara 8. Som jag förstår det, så är 8 arean inom denna integrerade ekvation, vilket motsvarar hur långt fågeln har fallit. Med att lösa ekvationen, så kan man då hitta t. Är det rätt? Alltså då är x värdet t när fågeln har fallit 8m. Stämmer det?

I så fall blir det 2 - 2e^-5t = 8, och då ska jag lösa ut t. Korrekt?

Men då blir det -2e^-5t =6

e^-5t = - 3

-5t = ln(-3)

det går inte. Vad är det som jag gör fel i min resonemang?

Tack!

j

Nej det blir inte 2 - 2e^(-5t) = 8 du ska lösa. Det är korrekt att du ska lösa ekvationen som står i svarshäftet.

Sträckan som den fallit efter x sekunder är alltså

$\int_{0}^{x} (2 - 2 e^{- 5 t}) d t$

Vad får du om du beräknar denna integral?

Om du integrerar hastigheten får du sträckan.

Integralen $\int_0^t 2-2e^{-5t}dt$ ger oss lösningen $[2t+\frac{2}{5}e^{-5t}]_0^t=8$ . Lös för $t$ .

hej Stokastisk och woozah!

Tack för svaren. Nu kommer det i gång! Men woozah då är vi tillbaka till min första frågan, alltså om hur jag hittar t i det här.

Stokastisk, håller du med att det är den här ekvationen som måste lösas för t?

8 = 2t + 2/5 e^-5t

Nej jag håller inte med om att det är den ekvationen som ska lösas. Du beräknar integralen fel, det är korrekt att 2t + 2/5 e^(-5t) är en primitiv funktion till 2 - 2e^(-5t), men det är inte korrekt att den primitiva funktionen beskriver sträckan den fallit efter t sekunder. Utan om F(x) = 2x + 2/5 e^(-5x) så är

$\int_{0}^{x} (2 - 2 e^{- 5 t}) d t = F (x) - F (0)$

Det du missar är alltså att subtrahera bort F(0). När du har beräknat detta korrekt så ska du lösa ekvationen

F(x) - F(0) = 8

Vilket du får göra numeriskt.

ok, jag ser.

då blir det

2t + 2/5 e^(-5t) - 2/5 = 8

ser det bättre ut? Men då måste jag lösa det för t, och det har jag fortfarande problem med för nån anledning. Kan jag få hjälp med det?

Tack,

j

Ja det där ser bättre ut. Du måste alltså använda din miniräknare (eller något annat verktyg) för att lösa denna ekvation, exakt hur du gör det beror på vilken miniräknare du har. När det kommer till miniräknare så vet jag bara hur man gör det med en TI-83

Då gör man så att man trycker.

1. "Y="

2. Skriv in 2X - 2*e^(-5*X)/5 - 2/5 i y1

3. Skriv in 8 i y2

4. Gå in på GRAPH och se till så att du kan se var kurvorna skär varandra.

5. Tryck på CALC och välj intersect.

6. Välj de två kurvorna och välj en gissning i närheten av där de skär varandra.

7. Läs av svaret nere i vänstra hörnet.

Hej!

Ok! Då vet jag varför jag har haft problem med flera frågor på NP! Det är delvis för att jag har ingen miniräknare lol!

Tack så hemskt mycket för hjälpen hittills.

Ha en bra weekend,

J