Hur löser jag denna olikhet på ett smidigt sätt.? 7/ x > 3x+1

Börja med att rita upp funktionerna$f(x)=\frac{7}{x}$ och $g(x)=3x+1$ och lös därefter ekvationen $f(x)=g(x)$. I alla fall passar det mig att ha en bild redan från början, så att jag kan se vad det är jag vill ha fram.

Håller med Smaragdalena med ett tillägg.

Rita upp båda funktionerna i samma koordinatsystem. Lös sedan ekvationen för både > och < än punkten där de möts. 

Att man skall rita de båda funktionerna i samma koordinatsystem var så självklart för mig att jag inte ens tänkte på att nämna det. Jag tycker det är enklare att lösa ekvationer än olikheter, alltså skulle jag lösa ekvationen och sedan titta på bilden för att se i vilka intervall denena eller den andra funktionen är störst.

MiniMe skrev:

Hej

Hur löser jag  7/ x > 3x+1 på ett smidigt sätt? Min metod går ut på att skriva om uttrycket till en andragradsekvation, lösa ut nollställena (då får jag punkterna då7/x möter 3x+1). Sen ritar jag upp 7/ x > 3x+1 för att se exakt hur intervallerna är.

Finns det någon annan metod?

 

Mvh Minime

 Det är en bra metod, förutom att du inte ska rita 7/x > 3x + 1 utan istället rita dels y = 7/x, dels y = 3x + 1.

jag har sett en annan metod där man löser olikheten med ett algebraiskt resonemang och/eller tabeller (kommer inte ihåg ett exakt). Ingen som känner till den metoden?

Hej!

Definiera den deriverbara funktionen $h\left(x\right)=\frac{7}{x}-3x-1$ där $x\neq0$ och studera olikheten $h\left(x\right)>0$.

Funktionens derivata är $h\text{'}\left(x\right)=-(\frac{7}{x^2}+3)$ och denna är negativ på

$(-\infty,0)\cup(0,\infty)$. Vad säger det om funktionen $h$?

Din ursprungliga metod är OK även om jag, som Smaragdalena säger, skulle rita först för att få en känsla för vad jag letar efter.

Dock kan du tänka på att när du skrivit om olikheten till en andragradsfunktion har du, som du observerar, x-koordinaterna till skärningspunkterna mellan dina ursprungliga funktioner som nollställen till andragradsfunktionen. Det innebär att du kan titta på denna istället för att hitta ditt intervall. Du har en andragradsfunktion med en positiv faktor framför x^2 som du vill veta när den är mindre än noll. Det vet vi ju att det är mellan nollställena.

Jag är inte hundra på vilken metod du menar med tabellen men kan tänka mig en metod liknande teckentabellen när vi sysslar med derivata. Då bygger den på att vi först tar ut skärningspunkterna mellan funktionerna. Sedan kan vi konstatera att om det ändras så att det förändras vilket uttryck som är störst måste de vara lika någonstans.

Det innebär att vi vet att de enda tillfällena är vår olikhet kan förändras är i skärningspunkterna. Vi vet också att på ena sidan kommer det högra uttrycket  att vara större än det vänstra och på andra sidan av skärningspunkten kommer det högra att vara större än det vänstra. Enda undantaget till detta är om kurvorna tangerar varandra. Det märker vi dock strax.

Då kan vi skapa en tabell där vi sätter upp våra skärningspunkter. Vi beräknar sedan värden för den vänstra och den högra delen av olikheten i någon punkt mindre än den minsta skärningspunkten, ett värde mellan skärningspunkterna och till sist ett värde större än den större skärningspunkterna och kan sedan lätt sätta olikhetstecken mellan uttrycken.

MiniMe skrev:

jag har sett en annan metod där man löser olikheten med ett algebraiskt resonemang och/eller tabeller (kommer inte ihåg ett exakt). Ingen som känner till den metoden?

Du kan genomföra ett algebraiskt resonemang till exempel genom att multiplicera olikheten med x och därmed få en andragradsolikhet. Men du måste då särskilja tre olika fall:

--------

Fall 1: $x<>$

Då gäller att olikheten kan skrivas

$7<>$

$x^2+\frac{1}{3}x-\frac{7}{3}>0$

Och så.vidare.

----------

Fall 2: $x>0$

Då gäller att olikheten kan skrivas

$7>3x^2+x$

$x^2+\frac{1}{3}x-\frac{7}{3}<>$

Och så.vidare.

----------

Fall 3: $x=0$

Då är vänsterledet odefinierat och olikheten saknar lösning.

----------

Var det så du menade?

Yngve skrev:

MiniMe skrev:

jag har sett en annan metod där man löser olikheten med ett algebraiskt resonemang och/eller tabeller (kommer inte ihåg ett exakt). Ingen som känner till den metoden?

Du kan genomföra ett algebraiskt resonemang till exempel genom att multiplicera olikheten med x och därmed få en andragradsolikhet. Men du måste då särskilja tre olika fall:

--------

Fall 1: $x<>$

Då gäller att olikheten kan skrivas

$7<>$

$x^2+\frac{1}{3}x-\frac{7}{3}>0$

Och så.vidare.

----------

Fall 2: $x>0$

Då gäller att olikheten kan skrivas

$7>3x^2+x$

$x^2+\frac{1}{3}x-\frac{7}{3}<>$

Och så.vidare.

----------

Fall 3: $x=0$

Då är vänsterledet odefinierat och olikheten saknar lösning.

----------

Var det så du menade?

Ja det var så jag menade. Förstår mig inte riktigt på metoden just nu, jag ska undersöka.