Hur kommer jag vidare med min uträkning?

Hej,

Det här är uppgiften: Låt f(x) = ax/2x+3 och undersök om man kan bestämma a så att f(f(x)) = x

Och här kommer min uträkning:
$f (x) = \frac{a x}{2 x + 3} \Rightarrow f (f (x)) = f (\frac{a x}{2 x + 3}) = \frac{a (\frac{a x}{2 x + 3})}{2 (\frac{a x}{2 x + 3}) + 3} = \frac{\frac{a^{2} x}{2 x + 3}}{\frac{2 a x}{2 x + 3} + 3} = \frac{\frac{a^{2} x}{2 x + 3}}{\frac{2 a x + 3 (2 x + 3)}{2 x + 3}} = \frac{\frac{a^{2} x}{2 x + 3}}{\frac{2 a x + 6 x + 9}{2 x + 3}} = \frac{a^{2} x (2 x + 3)}{(2 a x + 6 x + 9) (2 x + 3)} = \frac{a^{2} x}{2 a x + 6 x + 9} f (f (x)) = \frac{a^{2} x}{2 a x + 6 x + 9} \Rightarrow f (f (x)) = x \Rightarrow f (f (x)) = \frac{a^{2} x}{2 a x + 6 x + 9} = x \Rightarrow a^{2} x = x (2 a x + 6 x + 9) \Rightarrow a^{2} x = 2 a x^{2} + 6 x^{2} + 9 x \Rightarrow a^{2} x - 2 a x^{2} - 6 x^{2} - 9 x = 0 \Rightarrow x (a^{2} - 2 a x - 6 x - 9) = 0 \Rightarrow x_{1} = 0 a^{2} - 2 a x - 6 x - 9 = 0$ Min fråga är hur jag kan räkna ut a? Kan någon hjälpa?

Tack i förhand!

Det ser bra ut.

a² - 2ax - 6x - 9 = (...)*x + (...)

Sätt rätt uttryck i parenteserna, så är du nästan klar.

Tack! Jag får den här uträkningen. Är det rätt?

$a^{2} - 2 a x - 6 x - 9 = (a^{2} - 2 a) x - 6 x - 9 = 0 x = - \frac{- 6}{2} \pm \sqrt{{(\frac{- 6}{2})}^{2} + 9} = 3 \pm \sqrt{18} \frac{a^{2}}{(3 + \sqrt{18})} - \frac{2 a (3 + \sqrt{18})}{(3 + \sqrt{18})} - \frac{6 ((3 + \sqrt{18})}{(3 + \sqrt{18})} - \frac{9}{(3 + \sqrt{18})} = 0 (3 + \sqrt{18}) \times \frac{a^{2}}{(3 + \sqrt{18})} - 2 a - 6 - \frac{9}{(3 + \sqrt{18})} \times (3 + \sqrt{18}) = 0 a^{2} - 2 a - 6 - 9 = 0 a^{2} - 2 a = 6 + 9 = 15 a^{2} - 2 a - 15 = 0 a = - \frac{- 2}{2} \pm \sqrt{{(\frac{- 2}{2})}^{2} + 15} = 1 \pm 4 a_{1} = 5 a_{2} = - 3$

I facit står det dock bara att a = -3... har jag gjort något fel i min uträkning?

Javisst. Du har hittat på ett x² där det står x.

EDIT: Nej, vänta nu. Du har missat någon exponent, men...

...du kommer fram till att

a²x = 2ax² + 6x² + 9x

ska gälla för alla x. I vänsterledet har du inga x², så då ska du inte ha det i högerledet heller.

Svara

Visa senaste svar