Hur kommer det sig att komplexa nollställen alltid kommer konjugerande par?

Det gäller när du har reella koefficienter.

Om du tittar på pq-formeln så bör du se varför. 

Halloj!

Det finns ett bevis till din fråga som jag gillar, tänker att jag snor den och postar här:

(Jag gör det något origoröst, men jag tror du kanske förstår principen, om du känner fortfarande att det gnagar så rekommenderar jag boken Algebra I (10 tryckningen) av Bögvad m.fl, du kanske kan hitta den online om du googlar) där kan du hitta beviser under konjugerade rotsatsen.

Antag att $\alpha$ är ett komplext nollställe till ett tredjegradspolynom (vi gör beviset för tredjegradare, men du kan utvidga det till polynom av godtycklig grad) $P\left(x\right)=a_0{x}^3+a_1{x}^2+a_{2}x+a_3$. Antag att α är ett komplext nollställe till polynomet dvs. P(α) = 0.   Om du nu tar konjugatet i HL och VL så ser du följande: $\overline{P\left(\alpha \right)}=\overline{0}\iff$$\overline{a_0{\alpha }^3+a_1{\alpha }^2+a_2\alpha +a_3}=\overline{0}$. Nu kan du använda regler av konjugat samt att konjugatet av ett reellt tal är det reella talet själv:  $\overline{a_0{\alpha }^3+a_1{\alpha }^2+a_2\alpha +a_3}=\overline{0} \iff {\overline{a}}_0{\overline{\alpha }}^3+{\overline{a}}_1{\overline{\alpha }}^2+{\overline{a}}_2\overline{\alpha }+{\overline{a}}_3=0\iff a_0{\left(\overline{\alpha }\right)}^3+a_1{\left(\overline{\alpha }\right)}^2+a_2\left(\overline{\alpha }\right)+a_3=0$, men detta är ju bara P($\overline{\alpha }$), dvs. polynomet P(x) med konjugatet av vår initiala lösning $\alpha$ insatt.

Oj vad konstigt, mitt inlägg hade helt fel formatering, det ska inte se ut så där, jag får nog rapportera det

Beviset ovan fungerar för alla ring-automorfier, som fixerar mängden dit koefficienterna till polynomet hör. Om t ex 1+sqrt(2) är en rot till ett polynom med rationella koefficienter kommer 1-sqrt(2) också vara det.

Hej,

Låt $P(z)$ vara ett polynom med reella koefficienter och komplext argument $z$. Om $P(z_0) = 0+i0$ så är komplexkonjugatet $\bar{P(z_0)} = 0-i0$ och eftersom koefficienterna är reella så är

    $\bar{P(z_0)}=P(\bar{z_0})$.

Därför förekommer komplexa rötter till polynom över de reella talen alltid i komplexkonjugerade par.