Hur kommer de fram till att |U(1,1)|=1?

(Förlåt för att jag svarar utan att veta svaret men jag gillar dina frågor)

Men hur kan $\{(1,0), (0,1)\}$ ens spänna upp C2? Spänner den inte upp C1 (om jag gör generösa antaganden som författarnas avsikt jag som läsare inte ska behöva göra)?

Jag kan inte förstå facit. Om det är meningen att a+bi representeras av (a,b) och U(a,b)=(a+b, 0) betyder att vi tar ett par av komplexa tal och adderar de i första komponenten och sätter andra komponenten till noll så är norm(U(1,1)) fel för att U(1,1)=(2,0) och normen är sqrt(2)?

{(1, 0), (0, 1)} är en bas för ${\mathrm{ℂ}}^2$.

Det är nog ett typo.

$||U(1, 1)|| = ||(2, 0)|| = ||2(1, 0)|| = \left|2\right|||(1, 0)|| = 2·1 = 2.$

Så slutsatsen gäller hursomhelst.