Hur kan vi vara säkra på att tal som e^i existerar?

Om du går med på att e^(ix)=cos(x)+i sin(x) så kan du skriva HL med Taylorsummor och harva dig fram till att HL är samma sak som Taylorsumman för VL.

Att $e^{ix}=\cos{x}+i \sin{x}$ är väl ett resultat man bara kan få fram om man accepterar att $\exp : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$?

Det är precis det jag undrar hur man kan "rättfärdiga".

Termerna i Taylorsumman är var för sig inget problem att utvidga till C. Alltså heller inget problem med varje ändlig delsumma. Vidare är Taylorsumman en potensserie och om sådana vet vi att de har en konvergensradie inom vilken de konvergerar på kompakta mängder. e^z är definierad av sin Taylorserie och beräknar man konvergensradien, finner man att den är oändlig.

Vidare är Taylorsumman en potensserie och om sådana vet vi att de har en konvergensradie inom vilken de konvergerar på kompakta mängder.

Vad är en kompakt mängd i detta sammanhang? Det verkar finnas olika sätt att definiera det på och jag vet inte exakt vilken som är relevant här. I övrigt tror jag att jag är med!

Jag läste ett svar på math stackexchange, https://math.stackexchange.com/a/3679306/1216203, och där står det att man kan definiera en norm $\left\| z \right\|:=\sqrt{z_{1}^2+z_2^2}$ för något $z=(z_1, z_2)$ och sedan använda den för att visa något om gränsvärden. Men jag hittar inte kopplingen mellan normer och gränsvärden när jag googlar. Har det att göra med konvergensradier som du beskrev?

Eftersom grundfrågan gällde hur man definierar e^z för komplexa z, försöker jag begränsa mig till dina konkreta frågor snarare än den webbsida du hänvisar till.

1. I C är en mängd kompakt <==> den är sluten och begränsad.

2. Normer har man på lineära rum och C är ett sådant med Normen || z ||=| z |, dvs normen av ett komplext tal är dess avstånd till origo. Normer spelar rollen av avstånd rent generellt. Det är därför gränsvärden kan (men måste inte) vara kopplade till normer. Ett exempel är epsilon-delta definitionen av gränsvärde.

När man säger att mängden är begränsad, menar man då att den har såväl en övre som undre begränsning?

Och vad innebär det att den är sluten? Det jag lyckades lirka fram igår innan jag somnade var att en delmängd A till ett topologiskt rum $(X, \tau)$ är sluten om komplementet $X \setminus A$ är "en öppen delmängd" till $(X, \tau)$.

Vad innebär det att den är öppen? Innebär det bara att komplementet ska vara en ett element i topologin på $X$?

Elementen i $\tau$ är de öppna mängderna.

En angränsande punkt (i X) till en mängd (delmängd till X) är en punkt sådan att varje omgivning till punkten innehåller minst en punkt i mängden. En mängd är sluten om den innehåller alla sina angränsande punkter.

Vilken topologi är det fråga om när vi talar om mängden $\mathbb{C}$?

Det verkar ju inte som att det begreppet spelar någon roll när vi pratar om att $\mathbb{C}$ är en kompakt mängd. Antar man att man talar om någon särskild topologi?

Topologin i C och i R brukar man kalla för ”den vanliga topologin”. I R baseras den på de öppna intervallen, men varje mängd som är en union av öppna intervall kallas öppen. I C baseras på samma sätt den vanliga topologin på öppna cirkelskivor dvs av typen {z:|z-a|<r }där r>0 och z, a komplexa tal.

Som tidigare angivits är en delmängd i C kompakt omm den är sluten och begränsad. Att så är fallet är en sats av det djupare slaget från början av 1900-talet av Heine-Borel.
Begreppet Sluten redogjorde Patentamera för ovan. Eftersom komplementet av en sluten mängd är öppen, så är förvisso kompakthet kopplat till topologin. Det finns en topologi där bara ändliga mängder är kompakta, liksom en topologi där alla mängder är kompakta. Nu är vi ett gott stycke bortom den ursprungliga frågan om utvidgning av exponentialfunktionen till C.

Topologi (där begreppen öppen, sluten och kompakt dyker upp) är väldigt intressant, men det förtjänar kanske en egen tråd att reda ut hur det fungerar!

Här kommer i stället en utläggning om ursprungsfrågan, alltså varför funktionen $\exp\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ genom serien ${\exp(z)}=\sum_{k=0}^\infty\frac{z^k}{k!}$ är väldefinierad.

Som redan har konstaterats är termerna i serien inget problem; vi vet ju från gymnasiematematiken hur vi multiplicerar ett komplext tal med sig självt $k$ gånger, och sedan dividerar med $k!$.

Vad menar vi med "$\sum_{k=0}^\infty$" då – vad innebär det att lägga ihop oändligt många komplexa tal? Idén är ganska enkel: Vi vet ju redan hur vi lägger ihop ändligt många komplexa tal, så vi börjar helt enkelt med att addera ihop de två första termerna, sedan de tre första termerna, sedan de fyra första termerna, sedan de fem första termerna och så vidare, och definierar seriens värde som gränsvärdet av den här följden av delsummor. Formellt:

  $\displaystyle\sum_{k=0}^\infty w_k=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n w_k$

Om det existerar ett gränsvärde (alltså ett komplext tal som vi kommer hur nära som helst, om vi inkluderar tillräckligt många termer i summan) så säger vi att det är seriens värde. Annars säger vi att serien är odefinierad.

Rent visuellt kan vi tänka oss att en serie $\sum_{k=0}^\infty w_k$ motsvarar en promenad i det komplexa talplanet. Vi börjar i origo, och sedan motsvarar varje tal $w_k$ att vi tar ett litet steg med längden $|w_k|$ och vinkeln $\arg(w_k)$. Om det finns ett gränsvärde $L$ så är det som ett slags "svart hål": hur liten radie vi än väljer runt $L$ så kommer vår promenad förr eller senare passera den radien för att sedan aldrig gå utanför.

Exempel: En serie som inte konvergerar är $\displaystyle\sum_{k=0}^\infty i^k$. Den motsvarar följande promenad:

• Vi börjar i origo.
• Första termen är $1$ (ett steg åt höger), vilket tar oss till punkten $1$.
• Andra termen är $i$ (ett steg uppåt), vilket tar oss till punkten $1+i$.
• Tredje termen är $-1$ (ett steg åt vänster), vilket tar oss till punkten $i$.
• Fjärde termen är $-i$ (ett steg nedåt), vilket tar oss tillbaka till origo.

Sedan kommer det bara fortsätta på samma sätt – vi kommer gå runt, runt i en kvadrat i det komplexa talet för evigt. Inga svarta hål i sikte! Alltså är serien $\sum_{k=0}^\infty i^k$ inte ett väldefinierat komplext tal.

Frågan är nu om serien $\sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!}$ konvergerar i ovanstående bemärkelse, oavsett vilket komplex tal $z$ vi stoppar in. Låt oss börja med ett exempel!

Exempel: Låt oss försöka beräkna $\exp(1+I)$ genom $\sum_{k=0}^\infty (1+i)^k/k!$.

• Vi börjar promenaden i origo.
• Första termen är $1$, vilket tar oss till $1$.
• Andra termen är $1+i$, vilket tar oss till $2+i$.
• Tredje termen är $(1+i)^2/2=i$, vilket tar oss till $2+2i$.
• Fjärde termen är $(i+1)^3/6=-1/3+i/3$, vilket tar oss till $5/3+7/3i$.
• ...

Det kommer visa sig att det finns ett gränsvärde, och att det är ungefär $1.47+2.29i$, vilket ser väldigt rimligt ut om vi plottar promenaden:

Hur kan vi bevisa att vi alltid kommer att konvergera? Idén är återigen ganska enkel: vi vet att promenaden kommer ha en ändlig total längd (med mer formell terminologi så kommer serien att vara absolutkonvergent). Om vi adderar ihop längden på alla stegen vi tar, så får vi nämligen

   $\displaystyle\sum_{k=0}^\infty |\frac{z^k}{k!}|=\sum_{k=0}^\infty \frac{|z|^k}{k!}=e^{|z|}$

där vi i sista steget utnyttjade att $e^x=\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}$ för reella tal $x$. 

Eftersom totallängden på promenaden är $e^{|z|}$ så finns det ingen annan möjlighet än att vi förr eller senare börjar "få slut på steglängd" och tvingas "stanna upp". 

Resonemanget ovan görs precist av en klassisk sats som säger att "absolutkonvergenta serier konvergerar", som man typsikt bevisar i en kurs i komplex analys andra året på ett kandidatprogram i matematik eller ett matteintensivt civilingenjörsprogram.

Tack för det intuitiva svaret!

(och tack till er också, såklart, @Tomten och @patenteramera)

Här är förresten en väldigt trevlig video från 3blue1brown om serie-perspektivet på exponentialfunktionen, som kanske kan vara en kul uppföljning till den här tråden:

https://www.youtube.com/watch?v=ZxYOEwM6Wbk