Hur kan man vara säker på att r(x) är ett polynom?

$r(x)$ är inte ett polynom, "eftersom grad r(x) < 1 måste r(x) vara en konstant"

Dracaena skrev:

$r(x)$ är inte ett polynom, "eftersom grad r(x) < 1 måste r(x) vara en konstant"

Ja men därovan står det "vet vi att det finns entydiga polynom q(x) och r(x)"

du kan se r(x) som ett polynom av grad 0 vilket är samma sak som en kontant och uppfyller att grad(r(x)) < 1. 

Innebär det att om vi har en funktion på formen $f\left(x\right)=a_n· x^n+a_{n-1}· x^{n-1}...+a_0·x^0$ så är $a_0=0$?

Nu hänger jag inte med. Varför tycker du $a_0=0$? 

Satsen försöker visa att om du (x-a) är en faktor i p(x) är resten 0 och att vi då kan skriva p(x) som $q(x)(x-a)$ där $q(x)$ är en grad mindre än $p(x)$ precis som när du utför polynom divison som vanligt.

Jag antar att det jag inte riktigt förstår är varför $r\left(x\right)$ måste vara en konstant. Skulle man inte lika gärna kunna få någon skum rest som $\frac{1}{3x}$?

Är du med på att $p(x)=q(x)(x-a)+r(x)$? Låt säga att r(x) kan vara vad som helst, vi har ingen aning. 1/3x, e^x vad som helst. 

Vi vet att för $p(a)$ så får vi $p(a)=q(a)(a-a)+r(a)$, vi började med att påstå att $p(a)=0$, varav vi utförde podiv. 

Detta betyder att $0=q(a)(a-a)+r(a)$ men $(a-a)=0$ så att $0=0+r(a) \iff r(x)=0$. 

Vi har alltså visat att om vi utför poldiv med ett polynom liknande $(x-x_1)$ och detta är en faktor i $p(x)$ är resten alltid 0. 

Hänger du med?

Jag hänger med fram tills sista steget. Vi vet att $r\left(a\right)=0$. Hur implicerar det att $r\left(x\right)=0$?

Om du läst diskret matematik (om inte så kommer det snart) så säger Eculid's Divison lemma att för två positiva heltal så gäller det alltid att $a=bq+r$ varav vi får att $p(x)=q(x)(x-a)+r$. Detta bygger också på något som heter Remainder theorem. I princip så vet vi från diskret algebra att resten antingen ges av $p(a)$ om det är på form $(x-a)$ eller $p(-b/a)$ om det är på form $ax+b$. Man antar att The Remainder theorem är känt och använder den för att bevisa faktorsatsen. 

Så vi vet redan när vi börjar beviset att r(x) är en konsant eller 0. Vi vet för ett faktum att r(x) är en grad mindre, eftersom vi tillämpar andra satser/lemmor i beviset.

Här har du The remainder theorem: 

Det nämns också att polynom division bygger på Euclids lemma: 

https://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial_long_division

Kort och gott, vi "tvingar" r(x) att vara noll om r(a) är 0 eftersom en konstant inte blir påverkad av arugmentet, varav implikationen.

Men givet allt detta, så vet vi att r(x) måste vara en grad mindre än nämnaren (det vi delar med), varav r(x) är en konstant.

Jag tror jag förstår nu. Resten kommer vara en grad mindre än det man delar med, vilket gör att den blir av grad 0. Då måste r(x) vara en konstant funktion, vilket gör att r(a)=r(x). Stämmer det?

Ja, precis! Tag exempelvis $r(x)=C$

$r(a)=r(x)=r(9)=C$.

Så när vi har $r(a)=0$ så vet vi att den enda funktionen som kan uppfylla att $r(x)=r(a)=0$ och är av grad 0 (ett mindre än $(x-a)$) är funktionen $r(x)=0$.

Då kan man väl säga att?:

$$\begin{gathered} r\left(x\right)=a{x}^0 \\ \Rightarrow a=0 \end{gathered}$$

Det var det jag försökte uttrycka tidigare men jag gjorde det lite otydligt.

Ja, det kan man. $r(x)$ är ju ett polynom av grad 0 vilket är en konstant som går att skriva precis på det sättet du har gjort. Senare i beviset så inser vi att $a=0$.

Jag förstod det som att du menade att $a$ i ett generellt polynom som blir divierad av $(x-a)$ inte har en  konstant i sig, vilket självklart inte gäller generellt.