Hur kan man vara säker på att man har fångat alla lösningarna?

God kväll!

För icke-homogena linjära differentialekvationer brukar man säga att $y=y_h+y_p$. Som exempel kan vi ta följande ekvation:

$\displaystyle y'+7y=2x$

Partikulärlösningen är inget problem för mig. Det jag inte riktigt förstår är hur man vet att den homogena lösningen man får är den enda homogena lösningen man kan få. Ett sätt att lösa den homogena varianten av ekvationen ovan är såklart att multiplicera med $\displaystyle  e^{7x}$ och sedan integrera. Men hur vet vi att vi får den enda homogena lösningen då? Hur kan vi vara säkra på att det inte kan finnas fler som inte täcks av den vi får?