hur kan man räkna på värdemängd f(x)

Som vanligt är det en bra idé att rita upp funktionen.

Om funktionen har något max-eller minvärde så är derivatan 0 där.

Ett bra tips är att undersöka eventuella asymptoter.

Om det till exempel finns vertikala asymptoter så saknas ju övre och/eller undre begränsning.

Värdemängden består ju av alla de värden som funktionen antar då den oberoende variabeln x löper igenom hela definitionsmängden.

Gör det tankeexperimentet, låt x närma sig definitionsmängdens gränser och se vad som händer med funktionsvärdet.

okej kan testa derivera vid med komplexa tal men detta tal känns för omständligt att derivera om det går att se på något enklare sätt

hur tar jag fram asymptoter? är det där funktionen inte är definierad eller vadå?

EDIT: okej så jag får aspymptoen 0 eller x = 0 eller vet ej hur man skriver det

så vad säger mig detta? att värdemängden är alla reella tal? är det alltid alla reella tal om man har en vertikal asymptot?

EDIT2: alla reella tal förutom det talet som asymptoten ligger på alltså

Du har lagt den här uppgiften på Ma4, då behöver du inte bekymra dig om att derivera fkomplexa tal, det lär man sig inte förrän på universitetet.

Enklare sätt? Som jag skrev tidigare - rita!

Smaragdalena skrev:

Du har lagt den här uppgiften på Ma4, då behöver du inte bekymra dig om att derivera fkomplexa tal, det lär man sig inte förrän på universitetet.

Enklare sätt? Som jag skrev tidigare - rita!

jag menar att derivera angivet tal känns för komplicerat om det finns ett enklare sätt att ta reda på det

rita är bra alternativ men jag ska göra över 30 tal och känns också omständligt att rita om det finns ett enklare sätt

men finns det inget enklare/snabbare sätt än att derivera eller rita så finns det inte

De vertikala asymptoterna hittar du vid de x-värden där uttrycket inte är definierat, i detta fallet vid x = 2, precis som du har sagt.

En vertikal linje vid x-koordinaten 2 beskrivs av sambandet x = 2 (precis som en horisontell linje vid, säg y-koordinaten 17 beskrivs av sambandet y = 17).

Det finns inga andra värden på x som gör uttrycket odefinierat. Det betyder att du har en vertikal asymptot och den är x = 2.

Undersök alltså vad som händer med funktionens värde då x närmar sig 2 (från vänster såklart).

-------

Vad gäller eventuella horisontella asymptoter så hittar du dem då x går mot plus och minus oändligheten. I detta fallet är endast minus oändligheten aktuellt. Vad händer med uttrycket då?

--------

Sedan finns även sneda asymptoter, men det kan vi ta senare.

----------

När du har undersökt detta så vet du hur funktionen uppträder mot definitionsmängdens ändpunkter.

Om du nu har täckt in hela spannet av de reella talen så är du klar, annars måste du även ta reda på hur den uppför sig i definitionsmängdens inre.

Yngve skrev:

De vertikala asymptoterna hittar du vid de x-värden där uttrycket inte är definierat, i detta fallet vid x = 2, precis som du har sagt.

En vertikal linje vid x-koordinaten 2 beskrivs av sambandet x = 2 (precis som en horisontell linje vid, säg y-koordinaten 17 beskrivs av sambandet y = 17).

Det finns inga andra värden på x som gör uttrycket odefinierat. Det betyder att du har en vertikal asymptot och den är x = 2.

Undersök alltså vad som händer med funktionens värde då x närmar sig 2 (från vänster såklart).

-------

Vad gäller eventuella horisontella asymptoter så hittar du dem då x går mot plus och minus oändligheten. I detta fallet är endast minus oändligheten aktuellt. Vad händer med uttrycket då?

--------

Sedan finns även sneda asymptoter, men det kan vi ta senare.

----------

När du har undersökt detta så vet du hur funktionen uppträder mot definitionsmängdens ändpunkter.

Om du nu har täckt in heka spannet av de reella talen så är du klar, annars måste du även ta reda på hur den uppför sig i definitionsmängdens inre.

yes yes jag har gjort det, när x går mot 2 sticker funktionen iväg mot oändligheten

så innebär det att om jag hittar en vertikal asymptot så är definitionsmängden oändligheten

Jag antar att du menar värdemängd och inte definitionsmängd här.

Nej, värdemängden "är" inte oändligheten, utan det betyder att värdemängden saknar övre (eller undre) begränsning.

Exempel där undre begränsning saknas: $f(x)=-\frac{1}{x^2}$

rita är bra alternativ men jag ska göra över 30 tal och känns också omständligt att rita om det finns ett enklare sätt

När du har ritat 30 funktioner kommer du att vara mycket snabbare på det än du var innan. Tänker du läsa matte, är detta väl använd tid.

Yngve skrev:

Jag antar att du menar värdemängd och inte definitionsmängd här.

Nej, värdemängden "är" inte oändligheten, utan det betyder att värdemängden saknar övre (eller undre) begränsning.

Exempel där undre begränsning saknas: $f(x)=-\frac{1}{x^2}$

okej men förstår inte hur man svarar på frågan hur man räknar ut värdemängden för detta talmen all denna information om det inte är svaret

Du har kommit en bit på vägen, du har har tagit reda på att värdemängden inte har någon övre begränsning, dvs att $f(x)\rightarrow\infty$ då $x\rightarrow 2$.

Nu behöver du ta reda på om värdemängden har någon undre begränsning och det kan du göra på några olika sätt.

Ett bra första steg är att undersöka vad som händer då x går mot andra änden av definitionsmängden, dvs då x går mot minus oändligheten.

Vad händer då med funktionsvärdet?

Yngve skrev:

Du har kommit en bit på vägen, du har har tagit reda på att värdemängden inte har någon övre begränsning, dvs att f(x) går mot plus oändligheten då x går mot 2.

Nu behöver du ta reda på om värdemängden har någon undre begränsning och det kan du göra på några olika sätt.

Ett bra första steg är att undersöka vad som händer då x går mot andra änden av definitionsmängden, dvs då x går mot minus oändligheten.

Vad händer då med funktionsvärdet?

oändligheten fast minus,

så med andra ord antar funktionsvärde alla reella tal?

och det såg man genom att funktionen hade en vertikal asypmtot och att den gick mot - oändligheten åt andra hållet? förstår inte vad det har med asymptoter att göra då om den ändå kan anta alla värden om den inte har en aspymotot åt andra hållet

Bra, det stämmer. Funktionen saknar både övre och undre begränsning.

Eftersom den dessutom är kontinuerlig (överkurs) så antar den alla värden däremellan och värdemängden är alltså alla reella tal.

Du kom fram till detta genom att undersöka hur funktionsvärdet beter sig när den oberoende variabeln x går mot definitionsmängdens gränser.

I detta fallet utgjordes definitionsmängdens ena gräns av en vertikal asymptot, men det behöver inte vara så.

Eftersom du i detta fallet "spände ut" alla reella tal så behövde du inte ta reda på hur funktionen beter sig i definitionsmängdens inre.

Men ta till exempel funktionen $g(x)=x^2-7$, som saknar vertikala asymptoter.

Här räcker det inte att undersöka definitionsmängdens gränser efrersom funktionsvärdet sticker iväg mot plus oändligheten åt båda hållen. Då måste du även undersöka vad som händer inuti definitionsmängden. Här kommer Snaragdalenas tips om att derivera funktionen för att hitta eventuella min- eller maxpunkter väl till pass. Fråga om du vill ha mer förklaring.

----------------

Om funktionen istället hade varit $h(x)=x^3-5x^2+x-8$ (som även den saknar vertikala asymptoter) så hade det räckt att undersöka funktionens beteende då den oberoende variabeln x går mot plus och minus oändligheten. Fråga om du inte inser varför.

--------------

Blev det lite klarare då?

Yngve skrev:

Bra, det stämmer. Funktionen saknar både övre och undre begränsning.

Eftersom den dessutom är kontinuerlig (överkurs) så antar den alla värden däremellan och värdemängden är alltså alla reella tal.

Du kom fram till detta genom att undersöka hur funktionsvärdet beter sig när den oberoende variabeln x går mot definitionsmängdens gränser.

I detta fallet utgjordes definitionsmängdens ena gräns av en vertikal asymptot, men det behöver inte vara så.

Eftersom du i detta fallet "spände ut" alla reella tal så behövde du inte ta reda på hur funktionen beter sig i definitionsmängdens inre.

Men ta till exempel funktionen $g(x)=x^2-7$, som saknar vertikala asymptoter.

Här räcker det inte att undersöka definitionsmängdens gränser efrersom funktionsvärdet sticker iväg mot plus oändligheten åt båda hållen. Då måste du även undersöka vad som händer inuti definitionsmängden. Här kommer Snaragdalenas tips om att derivera funktionen för att hitta eventuella min- eller maxpunkter väl till pass. Fråga om du vill ha mer förklaring.

----------------

Om funktionen istället hade varit $h(x)=x^3-5x^2+x-8$ (som även den saknar vertikala asymptoter) så hade det räckt att undersöka funktionens beteende då den oberoende variabeln x går mot plus och minus oändligheten. Fråga om du inte inser varför.

--------------

Blev det lite klarare då?

okej okej då är jag med! tusen tack för hjälpen!