Hur kan man lösa detta gränsvärde mer matematiskt?

Vad menar du med <=>pilen mellan de första uttrycken?

Ekvivalens- och implikationspilar står mellan påståenden som x < 3 eller februari har 29 dagar. Ett limesuttryck står för ett tal, och ett tal är inget påstående.

Jag tittar på gränsvärdet och återkommer ifall jag ser något.

Jag menar att uttrycken är ekvivalenta. Men det kanske var fel val att använda ekvivalenspil?

Ja ekvivalenspil är fel här. Det är likhet mellan de två grönsvärdena.

Du är inne på att att exponentialfunktionen växer mycket snabbare än x, och du är rätt ute där. Jag kan inte bidra med en mer formell förklaring, men om du kollar upp hastighetstabeller kanske det kan ge några insikter 

De är lika. Använd =

du kan använda l’Hôpitals regel på  x/e^x (jag gillar egentligen inte regeln, för man kan ofta använda den utan att lära sig något om gränsvärden).

Du kan också logaritmera. Uttrycket är likamed

e^{ln(x/e^x)} där exponenten kan skrivas lnx – x som går mot –oändl när x går mot +oändl eftersom lnx ”växer extremt mycket långsammare” än x. Men det är ju samma sak som du skrev.

Men det borde finnas något ytterligare sätt. Funderar litet till.

Du kan skriva e = 1+r. Låt n vara det största heltalet som är mindre än x

Då är x/e^x < x/(1+r)ⁿ = (binomialsatsen) = x/[1+nr+n(n–1)r²/2 + …] <

< 2x/[n(n–1)r²] < 2x/[x(x–1)r²] = 2/[(x–1)r²] som går mot noll när x går mot oändl.

naytte skrev:

Jag sitter med följande gränsvärde:

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{xe^{x}}{e^{x}+1}\Leftrightarrow \lim_{x \to \infty}\frac{-xe^{-x}}{e^{-x}+1}$

Jag tänkte att man kan förkorta bort $e^{-x}$ och kvar blir då:

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{-x}{e^x+1}$.

Man kan ju enkelt resonera sig till att detta gränsvärde måste vara noll eftersom $e^x$ växer extremt mycket snabbare än $x$. Men detta är inte särskilt matematiskt... Hur skulle man kunna motivera det lite mer matematiskt?

Har ni inte att $\underset{\mathbf{x}\mathbf{\to }\mathbf{-}\mathbf{\infty }}{\mathbf{l}\mathbf{i}\mathbf{m}}\mathbf{\left(}\mathit{x}{\mathit{e}}^{\mathbf{x}}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\mathbf{0}$ som standardgränsvärde? Då behöver man inte någon omskrivning.

vi vet att

 $$\begin{gathered} \underset{x\to -\infty }{\lim }{e}^x=0 då blir \\ \underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=\frac{0}{0+1}=0 \end{gathered}$$

Nej, inga standardgränsvärden tyvärr.

Tack för svar, Marilyn! Är ute och löper medan jag skriver detta så jag kollar det du skrev vid tillfälle!

Mohammad Abdalla skrev:

Har ni inte att $\underset{\mathbf{x}\mathbf{\to }\mathbf{-}\mathbf{\infty }}{\mathbf{l}\mathbf{i}\mathbf{m}}\mathbf{\left(}\mathit{x}{\mathit{e}}^{\mathbf{x}}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\mathbf{0}$ som standardgränsvärde? Då behöver man inte någon omskrivning.

 

Även standardgränsvärden vill man veta var de kommer från. Det är ju inte bara Guds bud som ramlat ner på stentavlor från skyn.