Hur kan man hitta lösningar till ett polynom?

naytte skrev:

Hej! Så jag följande uppgift som jag håller på med:
Allting kan man ju skriva som:

$x^6\ge 2(x^5-x^3+x)-1$

Jag tänkte att man kan försöka hitta alla värden som uppfyller $x^6=2(x^5-x^3+x)-1$ och sen visa att för alla alla andra värden kommer vänsterledet vara störst. Typ genom att visa att $x^6$ för alla $x$ förutom de som uppfyller ekvationen kommer växa snabbare än $2(x^5-x^3+x)-1$.

Problemet är nu att jag har hittat en (och förmodligen den enda) lösningen, nämligen $x=1$, men jag hittade den genom att bara testa en massa värden. Har ni några tipps på hur man löser ekvationer av den här graden? Jag funerade på att försöka använda någon form av substitution men det ledde ingen vart.

Tack!

Detta ser ut som en svår fråga för att vara Ma2. Om det hade varit i Ma4 skulle jag ha gissat en rot och sedan ha gjort en polynomdivision, och i bästa fall skulle det se enklare ut efter det.

Varifrån kommer uppgiften?

Smaragdalena skrev:

naytte skrev:

Hej! Så jag följande uppgift som jag håller på med:
Allting kan man ju skriva som:

$x^6\ge 2(x^5-x^3+x)-1$

Jag tänkte att man kan försöka hitta alla värden som uppfyller $x^6=2(x^5-x^3+x)-1$ och sen visa att för alla alla andra värden kommer vänsterledet vara störst. Typ genom att visa att $x^6$ för alla $x$ förutom de som uppfyller ekvationen kommer växa snabbare än $2(x^5-x^3+x)-1$.

Problemet är nu att jag har hittat en (och förmodligen den enda) lösningen, nämligen $x=1$, men jag hittade den genom att bara testa en massa värden. Har ni några tipps på hur man löser ekvationer av den här graden? Jag funerade på att försöka använda någon form av substitution men det ledde ingen vart.

Tack!

Detta ser ut som en svår fråga för att vara Ma2. Om det hade varit i Ma4 skulle jag ha gissat en rot och sedan ha gjort en polynomdivision, och i bästa fall skulle det se enklare ut efter det.

Varifrån kommer uppgiften?

Jag fick av en kompis, var han i sin tur fick den ifrån vet jag inte. Jag inser ju att den inte riktigt är på Ma2-nivå, men jag visste inte vilken kategori jag skulle välja, så jag valde bara kursen jag har just nu. 

En polynomdivision, intressant. Jag ska läsa om det. Tack!

Hej!

Jag hittar ingen jättefin lösningen, men du kan börja som följande:

Eftersom $x>0$ så behöver vi inte bekymra oss om division med noll, så från första ekvationen så får vi att

$x^5-x^3+x=a \iff x\left(x^4-x^2+1\right)=a \iff x^4-x^2+1=\frac{a}{x}$. Om du löser ut $x^4$ så får du att 

$x^4=\frac{a}{x}+x^2-1$. Multiplicera båda led med $x^2$ för att få 

$x^6=ax+x^4-x^2$. Från första ekvationen så får du att $x^4-x^2=\frac{a}{x}-1$, så att

$x^6=ax+\left(\frac{a}{x}-1\right)=a\left(\frac{x^2+1}{x}\right)-1=a\left(x+\frac{1}{x}\right)-1$.

Om du nu kan visa att $x+\frac{1}{x}\geq 2$ för alla $x>0$ så är du klar. Jag kom inte på något bättre sätt än att använda derivata, och då faller det utanför matte 2.