Hur kan man försäkra sig om att en definition inte leder till motsägelser längre fram?

God middag, Pluggakuten!

För några månader sedan skapade jag en tråd som handlade om icke-standardanalys och "hyperrella tal". Det jag ville göra var att skapa ett talsystem som tillåter främst aritmetik med infinitesimaler för att kunna lösa höger- och vänstergränsvärden. Jag har kommit en bra bit nu, men jag har en ganska fundamental fråga. Hur kan man försäkra sig om att de definitioner man skapar nu inte säger emot varandra senare? Det är enkelt att skapa definitioner som håller i enstaka fall, men då man inte är allseende är det svårt att veta om de kommer orsaka problem senare.

Jag undrar också om man kan veta att de axiom man skapat är så grundläggande de kan vara, eller om man kan gå ännu djupare och få det att fortfarande funka? Helst vill man ju ha så få axiom som möjligt.

I mitt system har jag några grundläggande definitioner och antaganden:

Det existerar ett minsta tal större än noll
Detta tal följer den distributiva- och den associativa lagen
Ett gränsvärde som vanligtvis skulle gå mot noll går istället mot detta tal

Har du läst den här Wikipediasidan? Det verkar handla om ungefär det du håller på med.

Ja, det har jag. Men jag tycker mina frågar bara besvaras delvis där. På Wikipediasidan under underrubriken "first-order properties" beskrivs några first-order properties som ett icke-arkimediskt talsystem skulle kunna dela med ett arkimediskt talsystem.

Jag kan ge ett exempel på vad jag menar. Jag utgår givetvis från de vanliga reella talen, och påstår sedan att:

$\displaystyle (\neg \exists k,n) \;\varepsilon>\frac{n}{k}$

Då vi talar om tal på $\displaystyle \mathbb{R^+}$ . Detta är alltså motsatsen till arkimedes axiom. Frågan är om detta räcker som grund? Detta är inte ett påstående som får små konsekvenser. Vissa egenskaper i det vanliga talsystemet slutar då självklart gälla, men frågan är vilka? (förutom arkimedes axiom). Det förefaller leda till motsägelser någonstans om man inte tar itu med det direkt.

Ett exempel på ett gränsvärde man skulle kunna lösa med dessa tal (då vi antar att reellvärda funktioner även kan ta argument med en infinitesimal komponent):

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\approx \lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{x}=\frac{\sin \varepsilon}{\varepsilon}=\frac{\varepsilon}{\varepsilon}=1$

Nu vet jag inte om detta ens stämmer. Jag har tidigare i mitt arbete sett att det verkar rimligt att utgå från definitionen för infinitesimalen $\displaystyle \forall \delta\in \mathbb{R^{+}}:0<\varepsilon< \delta$ och dra slutsatsen att $\varepsilon/\varepsilon=1$ . Dessutom verkar det rimligt att $\sin\varepsilon = \varepsilon$ . Låt säga att det skulle stämma. Hur skulle mitt axiomatiska ramverk behöva se ut för att det skulle vara korrekt? "Proof by intutition", hur användbart det än må vara, är inte så övertygande...

Svara