Hur kan lim h --> 0 för sin (h) / h bli lika med 1?

Här är en video, där det bevisas geometriskt, som jag tyckte var väldigt bra när jag såg den första gånger för några år sedan:
Video: sin x / x

Tack, jag kollade in videon och tyckte också den var bra. Men jag förstod inte riktigt varför man inverterade, varför var det nödvändigt (vid min 6.20)? 

Hej!

Ja, det går att beräkna också!

Om $h$ är en liten positiv vinkel (mätt i radianer) så gäller olikheterna

    $\frac{1 \cdot \sin h}{2} < \pi \cdot 1^2 \cdot \frac{h}{2\pi} < \frac{1 \cdot \tan h}{2}$

som du kan skriva

    $\sin h < h < \frac{\sin h}{\cos h}\ .$

Detta är förstås samma sak som olikheterna

    $\cos h < \frac{\sin h}{h} < 1\ .$

Eftersom $\cos h$ växer mot $1$ då $h$ närmar sig noll ger olikheterna det sökta gränsvärdet.

Albiki

Om man använder Maclaurinutvecklingen av $\sin x = x-x^3/3! + x^5/5! -x^7/7! \:\: ...$ så kan man också få en känsla för varför gränsvärdet blir $1$. 

$\frac{\sin x}{x} = \frac{x-x^3/3! + x^5/5! -x^7/7! ...}{x}= 1-x^2/3!+x^4/5!-x^6/7! \:\: ...$ för $x \neq 0$

pi-streck=en-halv skrev :

Om man använder Maclaurinutvecklingen av $\sin x = x-x^3/3! + x^5/5! -x^7/7! \:\: ...$ så kan man också få en känsla för varför gränsvärdet blir $1$. 

$\frac{\sin x}{x} = \frac{x-x^3/3! + x^5/5! -x^7/7! ...}{x}= 1-x^2/3!+x^4/5!-x^6/7! \:\: ...$

Man skulle också kunna använda att

    $\frac{\sin x}{x} = \prod_{k=1}^{\infty} \cos \frac{x}{2^{k}} \approx \prod_{k=1}^{\infty} (1-\frac{x^2}{2^{k+2}})\ ,$

men varför göra det onödigt komplicerat?

Albiki

Albiki skrev :

 

pi-streck=en-halv skrev :

Om man använder Maclaurinutvecklingen av $\sin x = x-x^3/3! + x^5/5! -x^7/7! \:\: ...$ så kan man också få en känsla för varför gränsvärdet blir $1$. 

$\frac{\sin x}{x} = \frac{x-x^3/3! + x^5/5! -x^7/7! ...}{x}= 1-x^2/3!+x^4/5!-x^6/7! \:\: ...$

Man skulle också kunna använda att

    $\frac{\sin x}{x} = \prod_{k=1}^{\infty} \cos \frac{x}{2^{k}} \approx \prod_{k=1}^{\infty} (1-\frac{x^2}{2^{k+2}})\ ,$

men varför göra det onödigt komplicerat?

Albiki

:) För att vidga vyerna? 

Annars beskriver "småvinkel-approximationen" att:

$\sin \left(x\right)\approx x$