Hur kan den primitiva funktionen ge arean?

Tänk dig en brödlimpa. Tänk dig att du skivar den. Om du kunde räkna ut arean av varje brödskiva och multiplicera den med brödskivans tjocklek och sedan adderade ihop alla de volymerna, så skulle du få ett hyfsat värde på limpans volym, eller hur? Ju fler (och tunnare) skivor du skivar limpan i, desto bättre blir värdet på volymen, och om man gjorde oändligt många oändligt tunna skivor skulle volymen bli exakt rätt. Är du med på detta?

Smaragdalena, det är inte det eleven frågar.

Jag vet vad du frågar, någon annan på pluggakuten (möjligtvis jag) frågade den frågan och någon svarade. En sekund så hittar jag den...

Den liknelsen är jag med på så länge som man använder den röda kurvan i rött.

Men integraler använder den primitiva funktionen (kurvan i blått). Hur kan den motsvara arean?

https://www.pluggakuten.se/trad/varfor-primitiv-funktion-vid-integraler/?#post-fe27e7e2-fa2b-41b6-ae64-a8b900cfe77f

Det var inte denna jag tänkte på, men jag hittade bara denna. Svaret på din fråga är analysens huvudsats, den har ett bevis, men den är inte enkel att förstå sig på. Beviset bygger på smaragdalenas brödskivor, men det som är kärnan i huvudsatsen är hur den länkar samman brödskivorna med primitiva funktioner!

Det är ganska lätt att förstå vad en integral är för något. Man summerar ihop oändligt många oändligt tunna rektanglar under kurvan och på så sätt får man arean.

Det är också ganska lätt att förstå vad derivata är för något. Man räknar ut hur mycket kurvan lutar i en viss punkt.

Kärnan i din fråga är varför integrera är motsatsen till att derivera. Det är (åtminstone inte i mitt huvud) självklart om man tänker på de två styckena ovan. Man kan däremot som sagt bevisa detta matematiskt som Qetsiyah påpekade. Det speciella och kraftfulla med analysens fundamentalsats är att den för samman två viktiga men till synes skilda begrepp - integrera och derivera - och säger att de är två sidor av samma mynt.

Jag klurade länge på samma sak och hittade ett sätt jag intuitivt kunde förstå det på. För det första kanske vi kan vända på frågan. Istället för att fråga varför vi tar den primitiva när vi integrerar kan vi fråga oss varför får vi funktionen när vi deriverar integralen. Alltså vi har en funktion $f(x)$vi vill integrera och låt oss säga att vi integrerar från $0$ till en punkt $t$. Se figuren nedan Vi kallar arean vi får när vi integrerar för $A$ och skriver

$A=\int\limits_0^t f(x)dx$

Så vår fråga är nu, om jag deriverar $A$ med avseende på $t$ får jag då $f(t)$? Alltså vad är

$\frac{dA}{dt}= \frac{d}{dt}\int\limits_0^t f(x)dx=?$

Jo men om vi tänker oss att vi ändrar lite på $t$, vi kallar denna ändring $dt$ hur mycket ändras då $A$? Vad är $dA$? Jo men om vi tittar i vår figur kan vi ju se att $dA$ är nästan en rektangel, i alla fall om $dt$ är väldigt liten, med basen $dt$ och höjden $f(t)$. Men det betyder ju att

$dA=f(t)dt\Rightarrow \frac{dA}{dt}=f(t)$

Och det var ju det som vi undrade! Kan vara svårt att hänga med på vad jag gjorde men det är så jag tänker i alla fall.

Det som TobbeR har förklarat är analysens huvudsats första del (förresten behöver inte undre integrationsgränsen vara 0!). Det du letar efter mer specifikt är analysens huvudsats andra del där differensen mellan antiderivatorna återfinns.

Förresten, du kanske redan hört detta, men det man börjar med i matte 3 och fortsätter med i matte 4 kallas "analys" eller matematisk analys. Det är studiet av gränsvärden, integraler och derivator. Huvudsatsen kallas huvudsatsen just för att den är det viktigaste och lägger grunden för hela analysen, så det är kul och bra att du undrar över den här saken, för den är verkligen inte självklar!

Jo men nu förstår jag.

Tar man alla förändringar under en viss tidsperiod och lägger ihop dom så blir den summan den totala ökningen, vilket man kan representera som en area.

Tack alla!