Hur kan 0,5 bara försvinna?

Lite fel i redovisningen.

$\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$

och det ska vara så här:

${\left(\text{lg} 10 000\right)}^{0,5}={\left(\text{lg} 10⁴\right)}^{0,5}=4^{0,5}=\sqrt{4}=2$

men hur kan man gå från $4^{0,5} till \sqrt{4}$?
att upphöjt och roten ur "tar ut varandra" förstår jag,
men om det är så, så varför inte här i denna uträkning? Förstår att man vill ha $\sqrt{4}$
för att få de till 2, (för uppgiften vill ha 2) men förstår inte steget mellan $4^{0,5} och \sqrt{4}$

Vad är kvadratrot?

$\sqrt{x}=a$

Roten ur x är ett tal a sådant att $a·a=x$ eller $\sqrt{x}·\sqrt{x}=x$.

Om man vill skriva det med potenser istället för rottecknet, då

$$\begin{gathered} x^{?}·x^{?}=x^1 \\ {x}^{?+?}=x^1 \end{gathered}$$

? borde vara 1/2 och då

$x^{\frac{1}{2}}·x^{\frac{1}{2}}=x^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}=x^1=x$

Därför $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$.

Med samma resonemang kan man visa att $\sqrt[n]{x}=x^{\frac{1}{n}}$

jaha okej, så de ger samma svar de är därför de går att visa de så. Okej, tack jag förstår nu. Det går att  skriva eller "byta ut" $4^{0,5}$ till $\sqrt{4}$För svaret är densamma, de är alltså lika.


***
Men då kan man väl gå så här istället tänker jag:
${\left(lg10000\right)}^{0,5 }= 4^{0,5} =\sqrt{4}=2$

liksom skippa den där: ${\sqrt{4}}^{0,5}$
den verkar ju vara onödig då och förvirrande?

Ja, precis som du har skrivit.

$\sqrt{4^{0,5}}=\sqrt{2}$ så det blir fel att skriva så.

Tack