Hur inverstransformerar man Laplacetransformer för hand, egentligen?

...men varför blir den det?

Man kan dela upp en signal i sina frekvenskomponenter. I tidsplanet resp. frekvensplanet kan man illustrera det som:

Just funktionen 1 är besvärlig (liksom många andra) för att man får deltafunktionen, och det är ingen funktion i den meningen som används när man först lär sig om funktioner (som ska ha ett talvärde i sin domän) och att integrera dem (Riemann-integrerbarhet). Det är en så kallad generaliserad funktion. Jag gick bara en kurs i det, och lärde mig att man kan derivera och integrera sådana, och få väldefinierade resultat. Då kan man också derivera tidigare oderiverbara saker, som stegfunktionen.

Men om du tar en funktion som t.ex. sin(x) så borde du få en integral som du kan lösa.

Inverstransformen av 1 får man fram genom att veta transformen av $\delta \left(t\right)$. Om du vet hur den fungerar och är definierad i en integral kan du ta reda på dess transform enkelt. För Diracs deltafunktion och en kontinuerlig funktion $G\left(t\right)$ har vi:

${\int }_0^{\infty }\delta \left(t\right)G\left(t\right)dt=G\left(0\right)$

Detta resultat följer av att funktionen $\delta \left(t\right)$ är en enhetsimpuls i punkten $t=0$. Vi kan därmed härleda Laplacetransformen av denna funktion genom:

$\mathcal{L}\left\{\delta \right(t\left)\right\}={\int }_0^{\infty }\delta \left(t\right)e^{-st}dt=e^0=1$

Om vi nu tar inverstransformen på båda sidor får vi:

${\mathcal{L}}^{-1}\left\{1\right\}=\delta \left(t\right)$

Sedan går det att resonera sig fram att det blir så här om man sätter sig in i vad Laplacetransformen gör. Bilden Affe la upp är en väldigt bra visualisering av hur signaler kan uppträda under dylikt basbyte. 

Hej,

Om man vet att en funktion har Laplacetransformen $F(s) = 1/s$, där $s$ är ett komplext tal, hur bestämmer man då funktionen ifråga? 

Som du skrivit ges funktionen som den inversa Laplacetransformen

    $\displaystyle f(t) = \frac{1}{2\pi i}\cdot \lim_{R\to\infty}\int\limits_{s\in L_{R}} \frac{1}{s}e^{st}\,ds$

där $L_R$ betecknar den lodräta linje i det komplexa talplanet som förbinder de två punkterna $\alpha-iR$ och $\alpha + iR$ för ett fixerat positivt tal $\alpha$.

    $L_R = \{z\in\mathbb{C}\,:\,z=\alpha+iy\ , \quad -R\leq y \leq R\}.$

Funktionen $g(s) = \frac{e^{st}}{s}$ har en enkel pol i punkten $s=0$ så denna punkt måste undvikas när man beräknar integraler som involverar funktionen $g$.

Rita en halvcirkel ($C_R$) i det högra halvplanet med radien $R$ som börjar i punkten $\alpha-iR$ och slutar i punkten $\alpha+iR$. Tillsammans med den lodräta linjen bildar halvcirkeln en positivt orienterad sluten kurva ($\gamma$) i det komplexa talplanet

    $\gamma = C_R \cup L_R$

som omsluter ett område där funktionen $g$ är snäll och går att integrera (man säger att $g$ är analytisk eller holomorf på området) eftersom området inte innehåller den förbjudna punkten $s=0$ (eftersom $\alpha > 0$). Om man beräknar integralen av denna snälla funktion längs denna kurva säger Cauchys teorem att man får det komplexa talet noll. 

    $\displaystyle\int\limits_{s\in\gamma}g(s)\,ds = 0.$

Men integralen är även en summa av två integraler

    $\displaystyle\int\limits_{s\in C_R} + \int\limits_{s\in L_R}$

och den ena av dem har att göra med den inversa Laplacetransform som vi söker. Cauchys teorem ger därför att

    $\displaystyle\int_{s\in L_R} g(s)\,ds = - \int_{s\in C_R}g(s)\,ds$

och det gäller att bestämma integralen längs halvcirkeln $C_R$.