Hur hittar man prim. funktion till (1-tanx)^-1?

Hittills har jag försökt använda u-substitution men det har väl gått sådär. Så här har jag försökt:

$\displaystyle \int_{}^{}\frac{1}{1-\tan x}\mathrm{d}x=\int_{}^{}\frac{\cos^2x}{\cos^2x}\cdot\frac{1}{1-\tan x}\mathrm{d}x$

Låt $\displaystyle \tan x = u \implies \mathrm{d}u=\frac{\mathrm{d}x}{\cos^2x}$

Nu gör jag min substituering:

$\displaystyle \int_{}^{}\frac{\cos^2x}{\cos^2x}\cdot\frac{1}{1-\tan x}\mathrm{d}x$

$\displaystyle =\cos^2x\int_{}^{}\frac{1}{1-u}\mathrm{d}u$

$\displaystyle =\cos^2x\cdot-\ln(1-u)+C=\cos^2x\cdot-\ln(1-\tan x)+C$

Problemet är att det är lätt att se derivatan av det jag fick fram nu inte är samma funktion som vi skulle bestämma integralen till. Så någonstans har det uppenbarligen gått snett. Kanske har jag brutit mot någon regel någonstans?

Du kan inte sätta en del av uttrycket utanför integralen så där. När den innehåller x ska den delta i integrationen, och det ska bara vara u kvar, inga x.

Vad gäller själva frågan kan jag inte svaret på rak arm.

Ja okej, det är alltså där det går fel? Det jag tänkte var att man gör sin substitution direkt in i integralen jag hade ovan så att man får följande integral:

$\displaystyle \int_{}^{}\cos^2x\frac{1}{1-u}\mathrm{d}u$

och att man sedan kunde "bryta ut" $\displaystyle \cos^2x$ eftersom den faktorn ändå inte har något u i sig. På samma sätt som:

$\displaystyle \int_{}^{}3x\mathrm{d}x=3\int_{}^{}x\mathrm{d}x$

men jag antar att det inte går eftersom $x$ faktiskt beror av $u$ i mitt fall?

Ja, 3 går att bryta ut, det är en konstant.

Men din substitution är nog bra. Kan du uttrycka cos²x med hjälp av tanx?

Ja, 1/tanx... Helt uppenbart nu. Tack för hjälpen!

Konstig tankevurpa där. Det där är ju utifrån derivatan haha. Nej men jag tror det löste sig ändå. Tack så mycket!

Jag tog nog ut segern lite i förväg där... Jag har hittat ett uttryck för cos²x med hjälp av tanx:

$\displaystyle \cos^2x=\frac{1}{\tan^2x+1}$

Och sedan tidigare vet vi att $\displaystyle \tan x = u$ . Detta ger då en integral:

$\displaystyle \int_{}^{}\frac{1}{(u^2+1)(1-u)}\mathrm{d}u$

Men att lösa denna framstår som minst lika svårt som att bara lösa ursprungsintegralen... Såvida det inte finns något knep jag inte ser?

Du kan partialbråksuppdela.

Alltså dela upp produkten som en summa? Då är jag med. Ska återkomma när jag försökt eller eventuellt löst den! Tack!

Jag löste uppgiften. Jag hade lite tur att jag kände igen derivatan till arctanfunktionen. Tack så mycket för all hjälp! :)

Svara

Visa senaste svar