Hur hittar man dynamiken i en ODE?

Hej!

Antar att vi har dessa ODE:er

$m_{1} \frac{d^{2} x}{d t} = m_{1} g - k_{1} (x - y) - b_{1} (\frac{d x}{d t} - \frac{d y}{d t}) m_{2} \frac{d^{2} y}{d t} = m_{2} g + k_{1} (x - y) + b_{1} (\frac{d x}{d t} - \frac{d y}{d t}) - k_{2} y - b_{2} \frac{d y}{d t}$

Det som är känt är $k_{1}, k_{2}, m_{1}, m_{2}, g$ och när systemet är i vila/statiskt så är $x = 0.5, y = 0.2$ .

Systemet SKALL inte ha någon översväning, dvs systemet ska ha kritisk dämpning. Då är det $b_{1}, b_{2}$ som ska väljas.

Det jag vet är att när $x (t) = 0.5, y (t) = 0.2$ så kommer $\frac{d^{2} x}{d t} = \frac{d^{2} y}{d t} = \frac{d x}{d t} = \frac{d y}{d t} = 0$ .

Vid begynnelsen så är $\frac{d^{2} x}{d t} = \frac{d^{2} y}{d t} = \frac{d x}{d t} = \frac{d y}{d t} = x = y = 0$

Det jag inte vet är tiden $t$ när systemet är i vila, men jag vill ha det så snabbt som möjligt. Detta är ett problem då jag inte kan definiera snabbheten.

Skulle man kunna lösa ut $b_{1}, b_{2}$ om man definierar $x (t) = 0.5, y (t) = 0.2$ ?

Det tar oändlig tid innan systemet når vila exakt. Du får ta fram lösningen och se vad som ger kritisk dämpning.

Henrik Eriksson skrev :
Det tar oändlig tid innan systemet når vila exakt. Du får ta fram lösningen och se vad som ger kritisk dämpning.

Du menar att man måste "testa sig fram" igenom simulera?

Hade det bara varit en ODE så hade jag kunna lösa problemet då det finns en formel för detta. Men nu är det två ODE:s som interfererar med varandra.

Men du har ju hållit på med linjära system ett tag nu och vet hur man löser dom.

Henrik Eriksson skrev :
Men du har ju hållit på med linjära system ett tag nu och vet hur man löser dom.

Ja. Men inte dimensionera efter önskat beteende. Dessutom är det rätt svårt att hitta en övergångsmatris för ett 6x6 system.

Kan man inte dimensionera så här:

$b_{2} = 2 \times \sqrt{(m_{1} + m_{2}) \times k_{2}} b_{1} = 2 \times \sqrt{(m_{1} + m_{2}) \times k_{2}} \times \frac{0.2}{0.5}$

Då kan man anta att det tar samma tid för massan m1 och massan m2 att gå in i vilande position. Vi säger att det tar 10 sekunder för massan m2 att gå in i vilande position. Sträckan är 0.2 och 0.2/10 är 0.02 i hastighet. OK! Då kommer det ta 0.2/0.5 = 0.4 = 40% lägre tid för massan m1 att gå in i statisk position då massan m1 ha längre sträcka att ta sig till statisk position. För att reglera hastigheten på massan m1 så måste man sänka dämpningen så att både massan m1 och m2 hamnar in i statisk position vid exakt samma tid.

Har jag tänkt rätt nu?

Jag har nu fått reda på att det finns inget som definierar kritisk dämpning för ett system av ODE:er.

Alltså är det bara testa och simulera sig fram som gäller.

Som jag skrev tar det oändlig tid att nå vila. Visst finns det kritisk dämpning för linjära system. Om det inte funnes hjälper det väl inte att simulera?

Henrik Eriksson skrev :
Som jag skrev tar det oändlig tid att nå vila. Visst finns det kritisk dämpning för linjära system. Om det inte funnes hjälper det väl inte att simulera?

Men hur dimensionerar man dämpningen så systemet har en kritisk dämpning? Måste man testa sig fram, eller finns det en exakt lösning?

Svara

Visa senaste svar