Hur hitta 2:a nollställa?
Funktionen f(x)=ax2+bx+c har 2 nollställen, varav det ena i punkten x=u. Dessutom vet man att f'(x=v)=0. Skriv ett uttryck för arean hos en triangel som har sina hörn där grafen skär x-axeln samt i funktionen min-punkt. Derivatan=0 om x=v, vilket ger höjden på triangeln: f'(v)=0 ger att y-min=2av+b= höjd. Vi vet alltså att det ena nollstället är x=u, men för att kunna beräkna basen i triangeln måste vi även ta reda på det andra nollstället! Om man sätter f(x=u)=0 så får man f(u)=0=au2+bu+c, men jag vet inte om det hjälper att lösa den andragradsekvationen, det är ju inte u vi vill veta, utan funktionen andra nollställe?
Vi har så här långt Area=(Bas)h÷2 = (Bas(2av+b))÷2. Men hur kan jag beräkna Basen när jag inte vet ena ändpunkten (funktionen nollställe)?
Du vet att funktionen har sitt max/min när x är lika med v .
Du vet kanske också att grafens symmetrilinje är x = v
och att den skär x-axeln mitt emellan de två nollställena.
Om det ena nollstället är u , vad kan man då säga om det andra?
Rita figur!
Jaså, det var så lätt? Men hur vet man att x=v är en symmetrilinje som skär x-axeln EXAKT mitt emellan dom två nollställena?
Du vet att derivatan är 0 när x = v, d v s det är där som parabeln vänder.
Jag kommer fram till att triangelns halva bas blir: U-V, alltså får vi bas=2(U-V). Höjd = f'(v)=(2av+b).
Area=(bas×höjd)÷2 = ((2av+b)(2u-2v))÷2
= ((2av+b)÷2)×(u-v).
Är det en korrekt lösning?
Halva basen är u – v om u ≥ v och v – u om v ≥ u .
Hur är det med tecknet på f(v) ?
Har du ritat figur?
f(v)=av2+bv+c, vad menar du med tecken?
Uttrycket för arean borde bli ((2av+b)÷2)×(u-v) om u>v, stämmer inte det?
Rita!
Grafen skär x-axeln på två ställen.
Är den U-formad, så har den en minimipunkt som ligger under x-axeln.
Då är f(v) negativ . Hur stor är då höjden i triangeln?
Är den formad så har den en maximipunkt som ligger ovanför x-axeln.
Då är f(v) positiv . Hur stor är då höjden i triangeln?
I den uppgiftstext du angivit, står det något om min-punkt.
Hur kan det tolkas?
Det står i texten att triangeln har ett hörn i funktionens MIN-punkt, alltså är kurvan U-formad. Då borde väl triangelns area kunna skrivas:
((2av+b)÷2)×(u-v),stämmer inte det (om u>v)?
Henrik skrev:Det står i texten att triangeln har ett hörn i funktionens MIN-punkt, alltså är kurvan U-formad. Då borde väl triangelns area kunna skrivas:
((2av+b)÷2)×(u-v),stämmer inte det (om u>v)?
Har du ritat? Om du har det: Lägg uppbilden. Om du inte har det: Rita och lägg uppbilden.
Okej, jag har ritat triangeln och lägger nu upp den.
Arean hos triangeln: (2av+b)(u-v).
Jag lägger nu upp bilden.
Bra. Nu ser vi hur landet ligger.
Men 2av + b är väl derivatans värde för x=v ?
Och det är lika med noll...
Se inlägg #5 och #6
Kan man inte uttrycka höjden med ett funktionsvärde?
f'(v)=0 ger att höjd = f(v)=av2+bv+c, och bas=2(u-v).
Detta ger Area=(bas×höjd)÷2 = ((av2+bv+c)2(u-v))÷2
Svar: Area=(av2+bv+c)(u-v).
Men jag vet inte hur jag skulle kunna uttrycka höjden med ett funktionsvärde?
Du har ju angivit den som f(v).
Men f(v) är negativ, så det funkar inte som höjd.
Se figuren.
Ok, menar du att jag ska sätta ett minustecken framför f(v)? Dvs höjd=-(av2+bv+c)?
Just det.
Eller |f(v)|, så stämmer det även för en parabel med spetsen uppåt
Samma sak med u-v om vi inte vill dela upp det på två fall:
Halva basen är alltid lika med |u – v| .
Vi kan utgå från att u ≠ v eftersom kurvan skär x-axeln på två ställen.
Mycket att tänka på!
Mycket att tänka på, det kan man lugnt säga!
Tack för hjälpen!
