Hur har triangelolikheten använts för att visa ett gränsvärde (flervariabelsanalys)

Uppgiften $\lim_{(x, y) \to 0} \frac{x^{3} - x^{2} y}{x^{2} + y^{2} + x y}$ har lösts i min kursbok genom att skriva om funktionen i polära koordinater och sedan med hjälp av triangelolikheten och instägningsregeln visat att gränsvärdet är 0, alltså:

$|\frac{x^{3} - x^{2} y}{x^{2} + y^{2} + x y}| = |\frac{r^{3} \cos^{3} θ - r^{2} \cos^{2} θ r \sin θ}{r^{2} \cos^{2} θ + r^{2} \sin^{2} θ + r \cos θ r \sin θ}| = r \frac{|\cos^{3} θ| - \cos^{2} θ |\sin θ|}{1 + \frac{1}{2} \sin 2 θ} \leq r \frac{|\cos^{3} θ| + \cos^{2} θ |\sin θ|}{1 + \frac{1}{2} \sin 2 θ} \leq r \frac{1 + 1}{1 - \frac{1}{2}} = 4 r$ .

Min fråga är hur exakt i detalj triangelolikheten, $|x + y| \leq |x| + |y|$ , har används ?

i det fjärde steget antar jag att täljaren $|\cos^{3} θ| - \cos^{2} θ |\sin θ|$ skrivits om i olikheten till $|\cos^{3} θ| + \cos^{2} θ |\sin θ|$

eftersom någonting större i täljare delat på samma nämnare är större. Men sedan har jag fastnat i hur de andra stegen är gjorda.

Resonemanget går ju ut på att funktionens absolutbelopp $|f(r,\theta)|$ är mindre än eller lika med $4r$ , som går mot noll. Då absolutbeloppet är större än eller lika med noll får vi olikheten:

$0\leq |f(r,\theta)|\leq 4r$

som med hjälp av instängningssatsen ger att $|f(r,\theta)|$ och därmed även $f(r,\theta)$ går mot noll då $r\to0$ .

Jag ser på uträkningen du visat, men fastnar på likheten

$|\dfrac{r^3\cos^3(\theta)-r^2\cos^2(\theta)\cdot r\sin(\theta)}{r^2\cos^2(\theta)+r^2\sin^2(\theta)+r\cos(\theta)\cdot r\sin(\theta)}|\stackrel{?}{=}r\cdot\dfrac{|\cos^3(\theta)|-\cos^2(\theta)|\sin(\theta)|}{1+\frac{\sin(2\theta)}{2}}$

vilken inte är sann (täljarna stämmer inte överens). Tar man däremot bort detta led blir det mer logiskt då en variant av triangelolikheten säger att $|x-y|\leq|x|+|y|$ . Vi får då att

$|\cos^3(\theta)-\cos^2(\theta)\sin(\theta)|\leq|\cos^3(\theta)|-|\cos^2(\theta)\sin(\theta)|=|\cos^3(\theta)|-\cos^2(\theta)|\sin(\theta)|$

vilket ger första olikheten.

AlvinB skrev:
Resonemanget går ju ut på att funktionens absolutbelopp $|f(r,\theta)|$ är mindre än eller lika med $4r$ , som går mot noll. Då absolutbeloppet är större än eller lika med noll får vi olikheten:
$0\leq |f(r,\theta)|\leq 4r$
som med hjälp av instängningssatsen ger att $|f(r,\theta)|$ och därmed även $f(r,\theta)$ går mot noll då $r\to0$ .
Jag ser på uträkningen du visat, men fastnar på likheten
$|\dfrac{r^3\cos^3(\theta)-r^2\cos^2(\theta)\cdot r\sin(\theta)}{r^2\cos^2(\theta)+r^2\sin^2(\theta)+r\cos(\theta)\cdot r\sin(\theta)}|\stackrel{?}{=}r\cdot\dfrac{|\cos^3(\theta)|-\cos^2(\theta)|\sin(\theta)|}{1+\frac{\sin(2\theta)}{2}}$
vilken inte är sann (täljarna stämmer inte överens). Tar man däremot bort detta led blir det mer logiskt då en variant av triangelolikheten säger att $|x-y|\leq|x|+|y|$ . Vi får då att
$|\cos^3(\theta)-\cos^2(\theta)\sin(\theta)|\leq|\cos^3(\theta)|-|\cos^2(\theta)\sin(\theta)|=|\cos^3(\theta)|-\cos^2(\theta)|\sin(\theta)|$
vilket ger första olikheten.

Jag måste ha tänkt fel då i min kursbok en förenkling har skett $\frac{r^{3} \cos^{3} θ - r^{2} \cos^{2} θ \cdot r \sin θ}{r^{2} \cos^{2} θ + r^{2} \sin^{2} θ + r \cos θ \cdot r \sin θ} = r \frac{\cos^{3} θ - \cos^{2} θ \cdot \sin θ}{1 + \frac{1}{2} \sin 2 θ}$ .

Då tänkte jag att om jag tar absolutbeloppet av båda sidorna så kan jag förenkla lite i den högra ekvationen, t.ex att $| \cos^{2} θ | = \cos^{2} θ$ . Eftersom den alltid är positiv. Men det kanske är fel?

Det stämmer ju att $|\cos^2(\theta)|=\cos^2(\theta)$ , men vad som inte stämmer är när du tänker att

$|\cos(\theta)-\cos^2(\theta)\sin(\theta)|=|\cos(\theta)|-|\cos^2(\theta)\sin(\theta)|$

Man får nämligen inte dela på absolutbelopp hur som helst. Man får då istället göra någon typ av resonemang med triangelolikheten.

Är det här ett facit du försöker förstå eller är det din egen lösning? I det senare fallet skulle jag kanske strunta i absolutbeloppen och inse att allt vi behöver göra är beräkna gränsvärdet:

$\lim_{r\to0}r\cdot\dfrac{\cos^3(\theta)-\cos^2(\theta)\sin(\theta)}{1+\frac{\sin(2\theta)}{2}}$

vilket ganska enkelt görs genom insättning av $r=0$ .

AlvinB skrev:
Det stämmer ju att $|\cos^2(\theta)|=\cos^2(\theta)$ , men vad som inte stämmer är när du tänker att
$|\cos(\theta)-\cos^2(\theta)\sin(\theta)|=|\cos(\theta)|-|\cos^2(\theta)\sin(\theta)|$
Man får nämligen inte dela på absolutbelopp hur som helst. Man får då istället göra någon typ av resonemang med triangelolikheten.
Är det här ett facit du försöker förstå eller är det din egen lösning? I det senare fallet skulle jag kanske strunta i absolutbeloppen och inse att allt vi behöver göra är beräkna gränsvärdet:
$\lim_{r\to0}r\cdot\dfrac{\cos^3(\theta)-\cos^2(\theta)\sin(\theta)}{1+\frac{\sin(2\theta)}{2}}$
vilket ganska enkelt görs genom insättning av $r=0$ .

Ja okej såklart!, mina mattekunskaper är väldigt ringrostiga.. hehe.

Jag ville förstå hur de hade resonerat i boken (det var ett lösningsförslag jag följde). Tack då förstår jag!

Ja egentligen så behöver man väl bara konstatera att nämnaren aldrig kan bli noll och att täljaren är ett begränsat uttryck?

Tack för hjälpen

Ja, man inser att bråket är begränsat, och när man multiplicerar med $r$ som är lika med $0$ blir hela uttrycket noll.

Svara

Visa senaste svar