Hur gör man för att en utvidning ska vara rigörs - infinitesimaler

God kväll!

Jag sitter nu och arberar med och fascineras av infinitesimaler och skulle vilja skapa en utvidning av de reella talen där man kan räkna med infinitesimaler.

En av de mest grundläggande tankarna jag har är att de axiom som gäller för de reella talen även gäller för mina infinitesimaler. En konsekvens av detta är exempelvis att mina infinitesimaler utgör en egen, ordnad kropp. Är detta något jag på något sätt måste "visa" eller motivera eller kan jag bara ha det som ett grundpåstående, så länge min definition av infinitesimalerna inte säger emot det?

Ett förslag på en definition jag har är:

En positiv infinitesimal är ett tal $\varepsilon \gt 0$ med egenskapen att $(\forall n\in\mathbb{N})(\varepsilon < \frac{1}{n})$ .

Detta är definitionen så som jag föreställer mig den. Jag tror inte denna bör säga emot några axiom som gäller för de reella talen. Denna definition kan man dessutom använda för att visa att infinitesimalerna inte är reella (vilket är fiffigt för det är precis det jag vill).

Det här kan vara intressant: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Surreal_number

Det finns en bok pdf-format skriven av Dinald Knuth.

Tillägg: 7 feb 2024 22:19

Donald, naturligtvis.

Tillägg: 7 feb 2024 22:20

Han som skapade T_EX, för övrigt. En levande legend.

Tack för rekommendationen och länken!

Jag har dessutom ett "bevis" jag skulle vilja få genomläst och eventuellt korrigerat. Det jag vill visa är att mängden av alla infinitesimaler (enligt definitionen ovan) $\displaystyle \mathbb{E}\not\subset\mathbb{R}$ .

Resonemanget är följande:

Antag att $\displaystyle \mathbb{E}\subset\mathbb{R}$ . Eftersom $\mathbb{R}$ är en ordnad kropp och $\mathbb{E}$ är en icke-tom delmängd till $\mathbb{R}$ som är begränsad uppåt kommer det existera en minsta övre gräns till $\mathbb{E}$ . Låt $\sup\mathbb{E}=\varepsilon$ .

Om $\varepsilon$ är en infinitesimal kommer även varje multipel av $\varepsilon$ vara det. Det betyder att $\varepsilon$ inte kan utgöra ett maximum i $\mathbb{E}$ och således inte kan vara ett supremum.

Om $\varepsilon$ inte är en infinitesimal måste $\displaystyle \frac{1}{k}\le \varepsilon, k\in\mathbb{N}$ . Men vi vet att alla infinitesimaler är strikt mindre än $\displaystyle \frac{1}{k}$ . På grund av detta kan en icke-infinitesimal inte utgöra ett supremum för $\mathbb{E}$ .

Detta är en motsägelse eftersom vi vet att alla icke-tomma delmängder till $\mathbb{R}$ som är begränsade uppåt måste ha ett supremum. Således ser vi att $\displaystyle \mathbb{E}\not\subset\mathbb{R}$

Svara