Hur går man tillväga med detta (Matematik/Matte 3/Algebraiska uttryck)

Päivi skrev :
Vill ha med led tråd, inga frågor

Ledtråd: Funktionens nollställen får du genom att lösa ekvationen $y=0$ , vilket är samma sak som att lösa ekvationen $x^n-x^{n-1}=0$ .

Jag har glömt nu. Det finns ingen multiplikation här. Tänker på potens lag. Nu vet jag inte, hur man ska ställa upp det här. Behöver mera led tråd

Päivi skrev :
Jag har glömt nu. Det finns ingen multiplikation här. Tänker på potens lag. Nu vet jag inte, hur man ska ställa upp det här. Behöver mera led tråd

Ledtråd: Bryt ut en så stor gemensam faktor som möjligt i vänsterledet.

Det var just det som jag har problem med. Känner till det här problemet. Behöver nog mera hjälp. Det är minus tecknet som stör mig.

Päivi skrev :
Det var just det som jag har problem med. Känner till det här problemet. Behöver nog mera hjälp. Det är minus tecknet som stör mig.

Ledtråd:

$x^n$ kan skrivas som $x\cdot x^{n-1}$ .

$x^{n-1}$ kan skrivas som $1\cdot x^{n-1}$ .

$x^{n-1}$ är alltså en gemensam faktor.

Ja, nu är jag osäker.

y= x^n- x^n-1

x^n- x^n-1=0

x^n-1 (x -1)

Nu undrar jag eftersom det finns x i parentesen och utanför x^n-1 vad ska man sätta ovanpå x undrar Jag. Behöver mera led tråd

Päivi skrev :
Ja, nu är jag osäker.
y= x^n- x^n-1
x^n- x^n-1=0
x^n-1 (x -1)
Nu undrar jag eftersom det finns x i parentesen och utanför x^n-1 vad ska man sätta ovanpå x undrar Jag.

Ja. Din ekvation är

$x^{n-1}(x-1)=0$

Vänsterledet består nu av en produkt av två faktorer: $x^{n-1}$ och $(x-1)$

Denna produkt ska ha värdet 0. Då kan du använda nollproduktmetoden för att dela upp ekvationen i två delar och lösa varje del för sig.

--------

Nollproduktmetoden:

Om A*B=0 så måste antingen A eller B (eller både A och B) vara lika med 0.

Päivi skrev :
x^n-1 = 0 x= 0^ n+1 nu är jag frågetecken här

Nej det är ingen faktor.

De två faktorerna är $x^{n-1}$ och $(x-1)$ .

För att produkten av dessa faktorer ska vara lika med 0 så måste antingen den ena faktorn vara lika med 0 (det blir en enkel ekvation) eller så måste den andra faktorn vara lika med 0 (det blir en annan enkel ekvation).

Ställ upp dessa två enkla ekvationer och lös dem.

Den ena är noll och det n-1 som är noll.

Den andra faktor måste också vara noll, eftersom produkten ska bli noll. Så heter ju ramsan, men jag undrar hur man skriver det att den andra ska vara noll? Det här var besvärligt när det var ett minus tecken där.

n-1=0

n=0?

Vill ha mera ledtråd

x^n-1= 0

x^n=0

Du verkar tänka fel angående x^(n-1).

Exempel:

Om n=4 blir x^(n-1) lika med x*x*x

Om n=5 blir x^(n-1) lika med x*x*x*x

Päivi skrev :
Den ena är noll och det n-1 som är noll.
Den andra faktor måste också vara noll, eftersom produkten ska bli noll. Så heter ju ramsan, men jag undrar hur man skriver det att den andra ska vara noll? Det här var besvärligt när det var ett minus tecken där.
n-1=0
n=0?
Vill ha mera ledtråd

x^n-1= 0
x^n=0

------ Kommentar om skrivsätt ------

Du måste använda parenteser till exponenterna Päivi.

Om du vill skriva $x^{n-1}$ utan formeleditor så måste du skriva x^(n-1) för att visa att exponenten är (n-1).

Om du bara skriver x^n-1 så betyder det (x^n)-1 eftersom exponentiering har högre prioritet än subtraktion.

-------------------------------

Om uppgiften:

Ekvationen lyder $x^{n-1}(x-1)=0$

Den ena faktorn är $x^{n-1}$ så din första ekvation blir $x^{n-1}=0$ . Lös den ekvationen.
Den andra faktorn är $(x-1)$ så din andra ekvation blir $x-1=0$ . Lös den ekvationen.

Visa dina försök.

x^(n-1)=0

X^n=1

Jag förstår

Om n =5 och så tar man bort 1, blir 4

Nu är ju n=0 då måste den andra vara noll.

Päivi skrev :
x^(n-1)=0

Ja

X^n=1

Nej

Nu är ju n=0

Nej. Du skall lösa uppgiften för alla n.

Päivi skrev :
x^(n-1)=0
X^n=1

Nej nej nej Päivi vad gör du?

(n-1) är en exponent.

Du kan inte addera 1 till båda sidor och på det sättet ändra exponenten till 1. Det skulle i så fall betyda att till exempel 2^4 är lika med (2^3)+1.

-------------

Tänk istället så här:

Eftersom x^1=x så har ekvationen x^1=0 lösningen x=0.

Eftersom x^2=x*x så har ekvationen x^2=0 lösningarna x=0 enligt nollproduktmetoden.

Eftersom x^3=x*x*x så har ekvationen x^3=0 lösningarna x=0 enligt nollproduktmetoden.

Eftersom x^4=x*x*x*x så har ekvationen x^4=0 lösningarna x=0 enligt nollproduktmetoden.

Eftersom x^5=x*x*x*x*x så har ekvationen x^5=0 lösningarna x=0 enligt nollproduktmetoden.

...

och så vidare

...

Eftersom x^(n-1)=x*x*...*x så har ekvationen x^(n-1)=0 lösningarna x=??? (Päivi fyller i) enligt nollproduktmetoden.

x = 0

jag förstår ändå inte det här.

Päivi skrev :
x = 0
jag förstår ändå inte det här.

Ja! x = 0 är lösningen till ekvationen $x^{n-1}=0$ (då n>1).

Vad är det du inte förstår med det?

Du kan ju skissa x^2, x^3, x^4 och så vidare i ett koordinatsystem och då ser du att alla kurvor går genom origo och att alla kurvor nuddar x-axeln i endast en punkt, nämligen i origo.

Det blir nog tydligare om vi skriver ut ekvationen för något eller några olika n

För n=3 blir ekvationen

x*x*x - x*x = 0

som kan skrivas x*x*(x-1) = 0

Ser du lösningarna till den ekvationen?

För n=6 blir ekvationen

x*x*x*x*x*x - x*x*x*x*x = 0

som kan skrivas

x*x*x*x*x * (x-1) = 0

Om du blir förvirrad av att det står (n-1) i exponenten så kan du ju kalla k=n-1.

Då blir $x^{n-1}=x^k$ och ekvationen du ska lösa blir då $x^k=0$ . Blir det enklare då?

Jag förstår Bubo, men hur fortsätter man därifrån. Att sätta K hjälper inte mig inte, Yngve

Bokstäverna brukar jag ha problem med. Det vet jag

Jag kan förstå att x-1=0

x=1

Päivi skrev :
Jag kan förstå att x-1=0
x=1

Ja det stämmer att x=1 är ett nollställe till funktionen.

Det är fallet att den andra faktorn (x-1) är lika med 0, dvs lösningen till ekvationen x-1=0.

----------------------------------

Men du behöver kanske fortfarande hjälp att förstå hur du löser den första ekvationen: $x^{k} = 0$ .

Detta är en enkel potensekvation (<- klicka på länken och läs på) som du löser på följande standardsätt:

$x^{k} = 0$

Höj upp både VL och HL till $\frac{1}{k}$ :

${(x^{k})}^{\frac{1}{k}} = 0^{\frac{1}{k}}$

Vänsterledet: Förenkla med hjälp av potenslagen ${(a^{b})}^{c} = a^{b \cdot c}$ .

Högerledet: 0 upphöjt till 1/k är lika med 0:

$x^{k \cdot \frac{1}{k}} = 0$

Vänsterledet: Multiplicera ihop exponenten $k \cdot \frac{1}{k} = 1$ :

$x^{1} = 0$

$x = 0$

Blev det klarare nu?

Nu har jag rättat felen i formlerna. Morr.

Jag skriver fr ån dator. Jag förstår snart inte, vad jag skriver från telefonen. När jag ska upphöja, blir det rörigt och därför skriver jag det från dator. Man förstår bättre då. Sätta ^ är besvärligt. Jag ska skriva från dator. Åter kommer snart.

Päivi skrev :
Jag skriver fr ån dator. Jag förstår snart inte, vad jag skriver från telefonen. När jag ska upphöja, blir det rörigt och därför skriver jag det från dator. Man förstår bättre då. Sätta ^ är besvärligt. Jag ska skriva från dator. Åter kommer snart.

Du behöver inte svara att du snart ska svara Päivi. Då tror vi att du har skrivit något och så går vi in och tittar i onödan. Vänta istället med att skriva någonting tills du är klar.

$O m v i t a r f u n k t u i o n e n . y = x^{n} - x^{n - 1} x^{n - 1} (x^{n} - 1) = 0 n o l l p r o d u k t s m e t o d e n s å ä r x^{n - 1} = 0^{\frac{1}{n}} (x^{n})^{\frac{1}{n}} = 0^{\frac{1}{n}} x^{\frac{n}{n}} = 0^{\frac{1}{n}} x^{1} = 0 V i h a r p o t e n s l a g s o m s ä g e r n - 1 k a n s k r i v a s s o m \frac{1}{n} d e t v a r n å g o t s å d a n t . N u ä r j a g f r å g e t e c k e n o m - 1 i n o m p a r e n t e s e n .$

På din andra rad skall det stå (x-1) och inget annat inom parentes.

Päivi skrev :
$O m v i t a r f u n k t u i o n e n . y = x^{n} - x^{n - 1} x^{n - 1} (x^{n} - 1) = 0 n o l l p r o d u k t s m e t o d e n s å ä r x^{n - 1} = 0^{\frac{1}{n}} (x^{n})^{\frac{1}{n}} = 0^{\frac{1}{n}} x^{\frac{n}{n}} = 0^{\frac{1}{n}} x^{1} = 0 V i h a r p o t e n s l a g s o m s ä g e r n - 1 k a n s k r i v a s s o m \frac{1}{n} d e t v a r n å g o t s å d a n t . N u ä r j a g f r å g e t e c k e n o m - 1 i n o m p a r e n t e s e n .$

Nej det du skriver stämmer inte. Det är meningslöst att peka ut felen i det du skriver. Läs istället igenom följande noga:

-------------

Du har funktionen $y=x^n-x^{n-1}$ , där n är ett heltal som är större än 1.

Du söker funktionens nollställen, dvs de värden på x som gör att y = 0.

Sätt därför y = 0 och lös ekvationen. Lösningsmängden kommer att utgöras av funktionens nollställen.

y = 0 innebär att $x^n-x^{n-1}=0$ .

Vi bryter ut den gemensamma faktorn $x^{n-1}$ i vänsterledet:

$x^{n-1}(x-1)=0$

Enligt nollproduktmetoden så innebär detta att antingen är $x^{n-1}=0$ eller också är x-1 = 0.

-----------

x-1 = 0 ger oss lösningen x = 1, dvs x = 1 är ett av funktionens nollställen.

-------------

De andra nollställena får vi genom att lösa ekvationen $x^{n-1}=0$ .

För att få enklare beräkningar ersätter vi n-1 med k, dvs k = n-1. Eftersom n är ett heltal större än 1 så blir k ett heltal större än 0 (det går alldeles utmärkt att istället fortsätta att använda n-1 i exponenten om man så vill).

Vi kan då skriva ekvationen $x^k=0$ och vi löser den med hjälp av standardmetoden som anges i detta svar.

De andra nollställena är alltså x = 0, oavsett vilket värde som k (och därmed n) har.

--------------

Sammantaget innebär detta att funktionen har nollställen vid x = 0 och vid x = 1, vilket är svaret på frågan.

---------------

Fråga: Hängde du med på detta nu Päivi?

Nu har du fått hela lösningen serverad för dig på ett så enkelt sätt som jag kan komma på nu.

Om du tycker att detta med potensekvationer är besvärligt så rekommenderar jag verkligen att du repeterar det. Du bör hitta det i Matte 1.

Ja, det gjorde jag. Jag måste repetera det här ändå. Det är bara den här typen som jag behöver repetera, inte allt inom potens lagen för det kan jag. Det här minus historien är besvärlig, men det här fanns inte förut varken matte A eller i B kursen. Finns i c matte. Därför sitter den inte riktigt. Vi tar den andra tråden snart, Yngve. Jag ska skriva av det här först.

Att $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$ inte skulle ha förekommit förrän i MaC har jag svårt att tro på, jag har för mig att det ingick i MaA. Skall kolla det i morgon, nä rjag har tillgång till de gamla matteböckerna.

Smaragdalena skrev :

Att $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$ inte skulle ha förekommit förrän i MaC har jag svårt att tro på, jag har för mig att det ingick i MaA. Skall kolla det i morgon, nä rjag har tillgång till de gamla matteböckerna

------'''-------------

Detta finns inte i min matte A bok. Det kommer först i c matte. Kan visa bilder på sidorna allt som handlar om potensen.

Detta är allt fr ån matte A kursen, Magdalena!

Detta var MaA, eller hur? Där ingick alltså negativa exponenter, åtminstone om man hade 10 som bas. Det fanns säkert i andra kapitel med exempelvis a eller x som bas.

Detta var matte A ja, Magdalena

Jag ska ta kort på matte B. Tar kort på alla sidor om Potenser. Det finns jätte lite sådan övning. Ingenting som man kommer ihåg, dåligt med övning.

Det är inte konstigt om jag har problem.

Ska visa fr ån matte c om Potenser. Tar kort på alla sidor.

Detta var allt från matte A-C kursen. Det är inget konstigt om jag har problem med det här. C matte har du här under Magdalena.

Inget konstigt om jag har problem med sådana här.

Har inte haft sådana ens på prov.

Päivi skrev :

Detta var allt från matte A-C kursen. Det är inget konstigt om jag har problem med det här.

Va lustigt att jag inte fick med matte c

Bubo skrev :

För n=6 blir ekvationen
x*x*x*x*x*x - x*x*x*x*x = 0
som kan skrivas
x*x*x*x*x * (x-1) = 0

Du behöver inte komma ihåg speciellt mycket för att enkelt lösa den ekvationen. Om produkten av några faktorer blir noll, så är minst en av faktorerna noll.

Här är en faktor (x-1) och alla andra faktorer är x.

Antingen är (x-1) lika med noll, eller är x lika med noll. Klart.

Upphovsrättslagen tillåter inte att man publicerar stora delar av ett verk.

Jag tackar Er för det här.