Hur går det ihop?

Det är inte sant, och går inte ihop.

$\frac{x}{(\frac{a}{2})}=\frac{2x}{a}$

Nämnarens nämnare kan alltså ersättas med en faktor i täljaren, inte i nämnaren.

Hmm nu tror jag att jag kom på något:

$\frac{\left({\displaystyle \frac{x}{a}}\right)}{2}=\frac{x}{2a}$

väl?

Men om parantesen istället är i nämnaren flyttas den nedersta nämnaren upp i täljaren istället?

Precis.

Så länge man jobbar med positiva heltal är det ofta ganska enkelt att resonera om det, så då kan du övertyga dig själv om att det stämmer:

• Om du har 24 mynt, som ska delas upp på tre grupper med fyra personer i varje, kan du antingen tänka att varje grupp får $\frac{24}{3}=8$ mynt var, och varje person får alltså $\frac{(\frac{24}{3})}{4}=2$ mynt, eller så kan du tänka att det är $3\cdot4$ personer totalt, och varje person får $\frac{24}{3\cdot4}=2$ mynt (verkar stämma).
• Om de istället bestämmer sig att inte alla 12, utan bara  gruppcheferna (alltså var fjärde person) ska få mynten, så kan  man tänka att mynten ska delas på 12/4 personer, så varje gruppchef får $\frac{24}{(\frac{12}{4})}=8$ mynt. Men man kan också tänka att de hade fått lika mycket om de hade haft 4 gånger så många mynt från början, och alla hade fått dela på pengarna: $\frac{4\cdot24}{12}=8$ mynt var.

Tack!

Den räkneregel du kan använda i alla dessa sammanhang lyder $\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}$.

Använd då att ett uttryck som inte står i bråkform alltid kan skrivas som ett bråk, t.ex. $s=\frac{s}{1}$.

Om du glömmer bort räkneregeln kan du enkelt härleda den:

$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}$

Förläng bråket med $b$:

$\frac{b\cdot\frac{a}{b}}{b\cdot\frac{c}{d}}$

Förenkla:

$\frac{a}{b\cdot\frac{c}{d}}$

Förläng bråket med $d$:

$\frac{d\cdot a}{d\cdot b\cdot\frac{c}{d}}$

Förenkla:

$\frac{d\cdot a}{b\cdot c}$

Skriv om:

$\frac{a\cdot d}{b\cdot c}$

Skriv om:

$\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}$