Hur fungerar tidsdilatation enligt speciella relativitetsteorin?

1. Observatören inuti tåget _observerar_ att ljuset färdas en kortare sträcka än  observatören utanför tåget observerar att ljuset färdas. Det har med geometri att göra. Är du med på den biten?

2. Den sträcka som tågresenären _beräknar_ att ljuset färdas, är ljushastigheten*tiden. Men samma beräkning gör även observatören utanför tåget. Är du med på den biten?

För att ovanstående två utsagor inte ska motsäga varandra (sträckorna kan ju inte gärna vara olika långa och lika långa samtidigt), så måste observatörerna uppleva olika time-of-flight för ljuset.

Ah. Nu ser jag vad du inte förstår. Kan du tänka såhär

Antag att du står still och har en boll i handen som du studsar i marken och sedan åter fångar i handen. Bollen kommer då att färdas en sträcka som är dubbla avståndet mellan hand och mark, och ha en hastighet som vi kallar "studshastighet".

Antag sedan att du gör samma bollstuds medan du samtidigt springer. Då kommer du ju att ha hunnit springa en liten bit under tiden mellan bollen lämnar handen, och du fångar den igen. Bollen har alltså färdats lite längre sträcka jämfört med när du stod stilla och studsade. Vilket kan förklaras med att bollen hade högre hastighet i fallet när du sprang, eftersom bollhastigheten utgjordes av  "springhastigheten" och "studshastigheten" vektoradderade.

JohanF skrev:

1. Observatören inuti tåget _observerar_ att ljuset färdas en kortare sträcka än  observatören utanför tåget observerar att ljuset färdas. Det har med geometri att göra. Är du med på den biten?

2. Den sträcka som tågresenären _beräknar_ att ljuset färdas, är ljushastigheten*tiden. Men samma beräkning gör även observatören utanför tåget. Är du med på den biten?

För att ovanstående två utsagor inte ska motsäga varandra (sträckorna kan ju inte gärna vara olika långa och lika långa samtidigt), så måste observatörerna uppleva olika time-of-flight för ljuset.

Det verkar kanske konstigt, men jag förstår inte ovanstående. Det enda jag kan greppa, som dessutom är felaktigt vad jag förstår, är att om tåget i sig färdas i 0.9xC eller någonting, och ljusklockan färdas i C, så kommer tågets hastighet innebära att det kommer att hinna köra en viss sträcka innan ljusets har gått en period. 

Vilket innebär att man skulle kunna se detta som att ljuset färdas inte bara upp och ned, utan också i sidled, vilket innebära att vi får en hypotenusa och kan använda oss av pythagoras sats.

Men jag kopplar ovanstående då till att i och med att tåget kör nära ljusets hastighet, så hinner det köra ganska långt innan cykeln är klar, vilket innebär att sträckan som ljuset måste färdas för att nå observatören också hela tiden blir längre, vilket innebär att det av den anledningen "verkar" ta längre tid. Men vad jag förstår det som så finns det inget verkar här, utan det tar faktiskt längre tid enligt den observatören för dom befinner sig på olika plan i rumtiden, eller, fördelningen mellan tid och hastighet är annorlunda.

Jag "förstår" ditt sista exempel där, fast kan ändå inte koppla det till att det nödvändigtvis ska ta längre tid. Bollen går väl tekniskt sett bara upp och ner egentligen i sitt eget referensplan. Men.. jag är med att det blir en triangel där för någon som tittar på, greppar det.

Det är inte konstigt alls, jag försöker förklarar tills du förstår helt enkelt. Vi gör ett experiment med en kula i en 2 meter hög tågvagn istället.

Antag en observatör i tågvagnen, och en annan observatör utanför tågvagnen. Låtsas att väggen på tågvagnen är borttagen så att observatören utanför tåget ser exakt ser vad observatören inuti tåget gör med kulan. Tågvagnen _står stilla_.

Observatören i tågvagnen släpper kulan från innertaket (ritar en punkt i taket där den släpps ifrån) och låter den falla i golvet. Observatören i tågvagnen tycker kulan faller 2m rakt ner och landar på en punkt på golvet rakt nedanför den släpptes (ritar en punkt i golvet där den landar). Observatören i tågvagnen mäter också tiden som kulans fall tar, vilket blev ungefär 0.6 sekunder.

Observatören utanför tåget tycker såklart precis samma sak, eller hur? 

Antag nu att tågvagnen rullar långsamt med _konstant hastighet_ säg 1m/s, och man gör om precis samma experiment. Observatören i tågvagnen släpper kulan från samma markering i taket precis i det ögonblick han passerar observatören utanför tågvagnen (bara för att observatören utanför lättare ska se exakt vad som händer).

Observatören i tågvagnen tycker att kulan faller 2m rakt ner och landar på markeringen i golvet, på tiden 0.6 sekunder. Eller hur? Precis som när tågvagnen stod stilla.  

Fråga 1: Hur lång tid tycker observatören utanför tågvagnen att fallet tar?

Fråga 2: Var på golvet tycker observatören utanför tågvagnen att kulan landar? Tycker han att den landar på markeringen, eller tycker han att den landar någonannanstans?

Om jag kan! Jag ska försöka förstå. Det är svårt.

Fråga 1:

Jag tycker det är svårt, skriver allt jag tänker även om det är felaktigt.

Så det tar 0.6 sekunder för kulan att nudda golvet om man släpper den rakt ned. Om tåget förflyttar sig med en hastighet av 1m/s så borde det innebära att det hinner åka 1*0.6=0.6 meter innan kulan slår i golvet. Det sistnämnda ger tiden 0.6/1 = 0.6 sekunder. Sen har vi också tiden 0.6 sekunder för fallet rakt ned. Då tänker jag mig en triangel med två kateter med längd 0.6 vilket är 45° så då tänker jag mig att tiden är 0.6/sin45 = 0.85 sekunder.

Eller nej, det blir istället att man ska tänka sträckan 2 meter ned och sträckan 0.6 i sidled. Då faller kulan sträckan 2.09m istället totalt sett. Hastigheten var 0.6/2 = 0.3sekunder per meter. Då har vi 2.09*0.3 = 0.627 sekunder. Det känns.. en aning rimligt. Så jag säger att svaret är 0.627 sekunder. Även om 0.027 av en sekund känns som en alldeles för stor skillnad för så låga hastigheter..

Använder jag samma uträkning med högre hastigheter så skulle det ju ta enormt lång tid istället så jag antar att jag tänker fel här. Så tror inte jag kan besvara frågan...

Intuitivt vill jag säga att det tar precis lika lång tid, men vet inte varför.

Fråga 2:

Det här är riktigt svårt också, men jag tror en av Newtons lagar säger att ett objekt kommer att behålla sin hastighet i rörelse tills en annan kraft sätter stopp för det (dåligt formulerat men), det innebär i så fall kulan kommer att åka fram med samma hastighet som tåget, och då landa på markeringen. För observatören i tåget har kulan dock ingen hastighet framåt, utan bara för den utanför. Så.. uh.. Jag kan inte sätta mig in i det riktigt. Men kulan upplever ju inget luftmotstånd eller någonting, och i och med att den träffar markeringen sett ifrån tågets insida så säger jag att den "åker framåt" med samma hastighet som tåget för observatören utifrån sett och liksom, följer med tåget. Så jag säger att den träffar markeringen på precis samma sätt. Bara att det överdrivet sett kommer att se ut som att den faller snett för att lyckas med det.

Det känns extremt märkligt med min uträkning där att det ska bli en skillnad i sträcka på 1 dm med den låga hastigheten men.. ja, jag vet inte, det är mitt svar.

Tillägg: 5 aug 2024 15:09

Kulan får en hastighet i båda riktningar som gör att det totalt sett tar lika lång tid tänker jag nu efter en promenad.

Så bra du är på att beskriva hur du tänker! 

Intuitivt vill jag säga att det tar precis lika lång tid, men vet inte varför.

Fortsätt med att försöka tänka intuitivt, det verkar fungera bra! (iallafall när det handlar om ickerelativistiska hastigheter) Ja, observatörerna är helt ense om falltiden. Du kan nog komma fram till den slutsatsen på flera olika sätt. Till exempel finns ju ingen anledning att observatörerna skulle vara oense med varandra om tidpunkterna när kulan släpps och när den träffar golvet. Med  tanke på att ljuset från bollen till observatörerna näthinnor färdas med 300000000m/s, så borde rimligen synintrycken som de får, fås samtidigt.

Och som du har resonerat i fråga2 så har du insett att kulan för observatören utanför vagnen faller som i en kastparabel, med en rörelse i x-led (tågets hastighet som också blir kulans hastighet) och en rörelse i y-led (fallrörelsen), där falltiden i y-led inte är beroende av om den har någon hastighet i x-led eller inte. Alltså blir de överens om tiden.

Ditt svar på fråga2 är nästintill klockrent. Rent intuitivt måste det ju också vara så, om du till exempel tänker dig att kulan är hård och gör ett jack i golvet när den landar. Tänk om de två observatörerna stannar tåget och utvärderar det utförda experimentet tillsammans i tågvagnen, och upptäcker två jack på olika ställen. Extremt märkligt hade det varit! Eller hur? Alltså är de överens i vagnen.

Som fråga3 hade jag tänkt fråga om de två observatörerna också är ense om sträckan som kulan har färdats. Den frågan har du redan besvarat. De är alltså _inte_ överens om sträckan. Observatören i vagnen tycker kulan faller rakt ner i golvet, dvs bollen faller 2 meter i y-led under 0.6sekunder. Och observatören utanför vagnen tycker bollen gör en kastparabel, och färdas 2 meter i y-led, samt 0.6 meter i x-led. 

Du skriver att kulan faller sträckan 2.09 meter för observatören utanför vagnen. Jag förstår hur du tänker och räknar, men det blir inte riktigt rätt, eftersom det är en kastparabel skulle du egentligen ha  behövt beräkna längden på parabeln, vilket kräver mer avancerad matematik än pythagoras. Vi kan nöja oss med att säga att observatören utanför vagnen tycker att kulan beskriver än längre rörelsebana än observatören i vagnen.

Summa summarum om experimentet:

- Observatörerna är överens om hur lång tid kulan har rört sig.

- Observatörerna är _inte_ överens om hur lång sträcka kulan har rört sig.

MEN, eftersom vi gärna vill ha ett intuitivt svar på varför de kan komma fram till olika slutsatser, så drar vi en lättnadens suck när vi inser att kulan faktiskt hade en högre hastighet för observatören utanför vagnen, och därigenom stämmer det matematiska sambandet 

$sträcka=hastighet*tid$

för båda observatörerna. Otroligt skönt!!!

MEN, om man gör precis samma (tanke)experiment med en laser i tågvagnens tak, som skickar en laserpuls (som färdas med ljusets hastighet c) som bränner ett märke i golvet, samt en tågvagn som färdas i 0.5c.

Vad blir då annorlunda iom att ljusets hastighet är konstant för båda observatörer?

Haha, kanske det. Tack.

Jag tänker att den intuition man har är så inpräntad att det är besvärligt att tänka om. Relativistiska hastigheter, eller relativitet, är ju den korrekta modellen av hur det fungerar enligt våran nuvarande förståelse i alla fall. Som elektromagnetismen där, att det kan förklaras med relativitetsteorin. Det som gör det så besvärligt är väl naturligtvis att det inte känns som en del av verkligheten eftersom vi inte kan interagera med den på något direkt sätt. Men hade vart bra om man introducerades till det här i yngre ålder, i någon form i alla fall så att en tanke hela tiden ska finnas i bakhuvudet där.

**************************

Men, i alla fall då..

Ja, kan man inte se det som en vektor i båda riktningar för den person som sitter och tittar på det här. Kulan har två hastigheter i två olika axlar samtidigt. Som du beskriver där ja. Jag kan köpa det i alla fall.

Så som du beskriver det med jacket i golvet där, det är så jag upplever den här teorin nu när jag började sätta mig in i den. Allting kändes bara motsägelsefullt och som rena fantasier. Ett typiskt sånt här fall där man (jag) upplever det som att man förstår mindre ju mer man försöker förstå saken i fråga.. ända tills man faktiskt förstår det och kan sätta ihop alla pusselbitar och man kan mentalt bara flyga runt hela grejen och sätta sig in i den sett från olika scenarion och sådär. Nu är jag naturligtvis inte alls där i någon form här då men, det är målet i alla fall. I slutändan förstår man ju bara så långt som våran nuvarande kunskap sträcker sig ändå, så risken är att det man förstår inte är någon förståelse egentligen :P Det här hör inte hemma här alls men kunde inte låta bli. Förväntar mig naturligtvis inget svar så.

Ursäkta sidorspåren igen, men igen då:

*****

Är inte insatt i fysik alls egentligen, har på sin höjd räknat med hastighetsformeln där. Så har inte alla verktyg för att tackla det här i detalj, jag vill bara förstå det i första hand. Man lär väl räkna med gravitationen och räkna ut hur mycket den hinner accelerera och sen göra en modell för det och så vidare, antar jag? Ett visst luftmotstånd också om man ska vara riktigt jobbig..

Fråga 3:

För observatören på tåget så kommer lasern ögonblickligen bränna ett märke i golvet. Det hela behöver egentligen inte diskuteras eftersom att det är likvärdigt med att.. ja, vara instängd i ett helt vanligt stillastående rum.

Här tror jag förövrigt inte att det blir en "kastparabel", eller?

För observatören som sitter och tittar på det här så, först då, inbillar jag mig att vågen kommer ut, och den sträcka det tar för ljuset att nå golvet, hälften av den sträckan kommer ljuset att färdas rakt fram i linje med vagnen, så 63° ungefär sett från golvets vinkel. Så längdenhet 1 och längdenhet 0.5 blir längdenhet 1.12. Nu förstår jag, eller snarare vet, att det inte riktigt blir så här på grund av längdkontraktion också, som jag inte heller förstår helt och hållet men.

Hur som helst, ljuset färdas en längre sträcka. Här har jag dock ett litet problem med att jag gärna vill se det som att lasern kan färdas i C rakt ned, och i 0.5C i sidled, utan att dessa vektorer egentligen logiskt måste adderas utan kan existera samtidigt individuellt. 

Men det har i vilket fall en längre väg att falla vilket borde ta längre tid i och med att hastigheten inte kan öka.. Så det finns ingen annan variabel att ändra på egentligen? 

Det är märkligt att någonting kan ta längre tid. Kan vi se detta som att de helt enkelt existerar på olika plan i samma dimension? Det är ju inte bara en illusion eftersom att båda betraktare upplever varandra på samma sätt.. Men, när tåget stannar sen så kommer ju både tåget och observatören ha samma upplevelse av hur mycket tid som har gått, så i det avseendet blir det som en illusion i alla fall, väl?

Jag tror jag kan greppa det på en enkel nivå i alla fall! :D Men det är ju fantastiskt att det ska fungera så. Världen vi lever i är extremt märklig får man ju lov att säga. Det känns nästan som att vi alla ingår i någon form av experiment för några varelser på ett annat plan av existens. ^^'

****

Jag har läst lite om tvillingparadoxen, och vad jag förstår det som är det velocitetsförändringen som ligger till grund för att den ena tvillingen är lite yngre, och inte nödvändigtvis någon hastighet. Bara hastigheten räcker med andra ord inte för att det ska bli en egentlig tidsförändring. Har du något tips om hur man kan ta vårat tågexempel vidare till det? 

Tänkte på det här med tidsdilatation och längdkontraktion, om nu ljuset färdas en längre bana och således tickar tiden saktare, men eftersom även längdkontraktion uppstår i dom här hastigheterna, borde inte den effekten då trolla bort den längre sträckan som ljuset färdas?

Här tror jag förövrigt inte att det blir en "kastparabel", eller?

👍👍👍👍🌟🌟🌟

Tågexemplet visar att en klocka som rör sig (jämfört med dess observatör) går långsammare än en klocka som inte rör sig (jämfört med dess observatör). Laser-pulsen kan ses som en "klocka" där en tidsenhet är tiden det tar för laserpulsen att färdas från tak till golv. Om det hade suttit en "riktig" klocka på väggen i tågvagnen som båda observatörerna kunde betrakta, så skulle observatören utanför vagnen tyckt att klockan gick långsammare än om klockan inte hade rört sig (dvs som observatören i vagnen ser samma klocka)

Som en konsekvens av tidsdilatationen får man en motsvarande längdkontraktion, dvs en sträcka (parallell med rörelseriktningen) som mäts av stillastående observatör är längre än om samma sträcka mäts av en observatör som rör sig i förhållande till det som mäts. Den konsekvensen kommer sig av att observatörernas referenssystem är helt symmetriska i förhållande till varandra, dvs en observatör kan omöjligt säga vem av dem som rör sig och vem som står stilla, bara att de rör sig i förhållande till varandra, och där samma rörelselagar gäller i båda referenssystemen (om samma lagar _inte_ hade gällt så hade man ju kunnat skilja referenssystemen åt). I exemplet med "ljusklockan" i tåget har ingen längd mätts utanför sitt eget referenssystem (Tågvagnen kommer att vara kortare om observatören utanför tågvagnen mäter den jämfört med om observatören i vagnen mäter den. Däremot är tågvagnens höjd densamma för båda).

Jag tror att det är två saker som gör att man upplever relativitetsteorin så svår (jag har precis samma problem som du, man måste verkligen kämpa för att lyckas förstå någonting, och när man väl tror sig ha förstått nånting så dyker det upp exempel som får en att förstå att man inte förstår...)

1.  Det kommer inte till en med intuition, man kan omöjligt relatera till vardagliga händelser (om man inte jobbar på CERN, eller Fermilab, eller nåt)

2. Gymnasiefysiken tar bara upp det mest grundläggande, och exempel som är tillrättalagda efter detta grundläggande. Börjar man botanisera utanför fysikboken så är det lätt att gå in i väggen. (vilket inte betyder att man inte ska söka information utanför fysikboken. (men naturligtvis är det bra att få andra källor än fysikboken, men man måste vara beredd på att dyka djupare och djupare. Precis som frågorna du hade om magnetism häromveckan. 

Men, när tåget stannar sen så kommer ju både tåget och observatören ha samma upplevelse av hur mycket tid som har gått, så i det avseendet blir det som en illusion i alla fall, väl?

Här kommer tvillingparadoxen in. Jättebra att du tog upp den! Titta på den här ”Twin paradox: the real explanation (no math)”: 

https://youtu.be/noaGNuQCW8A?si=Bwnwm-b3_qnU7qyV

Min rekommendation när du dyker lite djupare är att titta på dr Don från Fermilab. Han har en hel serie videor där han förklarar så sammanhängande som det bara går, hänvisar ibland till andra av sina videor för fördjupningar för att undvika att fastna i detaljer, interagerar med sina tittare för att förstå vad som anses vara speciellt svårt etc. Och sedan har han humor (torr humor som fnöske, vilket gör det ännu roligare!). Här är en liten lista, men du hittar fler

Om tågexeprimentet, ”Relativity's key concept: Lorentz gamma”:

https://youtu.be/qXxtqK7G4Uw?si=Ym7u17kO9FT6Y8IM

”Einstein's Clocks”

https://youtu.be/Txv7V_nY2eg?si=bWqECVYTeD61I47t

”Length contraction: the real explanation”

https://youtu.be/-Poz_95_0RA?si=meLdvVH1-Yo_7EvY

Nåt som sätter ännu fler myror i huvudet kanske?:

”Relativity: how people get time dilation wrong”

https://youtu.be/svwWKi9sSAA?si=nELhQxX8sS2ZGgUs

Som en konsekvens av tidsdilatationen får man en motsvarande längdkontraktion, dvs en sträcka (parallell med rörelseriktningen) som mäts av stillastående observatör är längre än om samma sträcka mäts av en observatör som rör sig i förhållande till det som mäts. Den konsekvensen kommer sig av att observatörernas referenssystem är helt symmetriska i förhållande till varandra, dvs en observatör kan omöjligt säga vem av dem som rör sig och vem som står stilla, bara att de rör sig i förhållande till varandra, och där samma rörelselagar gäller i båda referenssystemen (om samma lagar _inte_ hade gällt så hade man ju kunnat skilja referenssystemen åt). I exemplet med "ljusklockan" i tåget har ingen längd mätts utanför sitt eget referenssystem (Tågvagnen kommer att vara kortare om observatören utanför tågvagnen mäter den jämfört med om observatören i vagnen mäter den. Däremot är tågvagnens höjd densamma för båda).

Men, jag tänker att vi konstaterade ju att tiden helt enkelt måste sakta ned för att kunna bibehålla ljusets hastighet, som en konsekvens av att ljuset färdas en längre väg för en stillastående observatör. Men om längdkontraktion uppstår, då.. blir ju en uträkning av ovanstående beroende av det också? Ja, det vill säga om vi vill räkna den faktiska skillnaden i tid.

Och precis, om kontraktionen endast sker på längden, så kommer höjden att vara densamma och således oavsett hur mycket längden påverkas, kommer ljuset ha en längre horisontell sträcka att färdas i alla fall. Så, ströckan blir alltid längre. Är det korrekt?

Men sen tänker jag, om man kommer på den här teorin ifrån början, och försöker resoneras sig fram till vad som måste hända för att ljuset ska kunna behålla sin hastighet.. vart ifrån här får vi egentligen, vad säger man, incitamentet till att ens överväga längdkontraktion? Tidsdilatationen verkar ju räcka som förklaring menar jag.

Tack för länkarna, ska kolla på dem. Har sett den med längdkontraktionen tidigare där, bra video och han är riktigt trevlig att lyssna på faktiskt!

Men om längdkontraktion uppstår, då.. blir ju en uträkning av ovanstående beroende av det också? 

Jag uttryckte mig nog otydligt och formuleringen konstig. Det mäts ingen sträcka förutom tågets höjd, där det inte är någon längd kontraktion.

vart ifrån här får vi egentligen, vad säger man, incitamentet till att ens överväga längdkontraktion? Tidsdilatationen verkar ju räcka som förklaring menar jag.

I fermilabvideon om längdkontraktion så ser du att den uppstår vare sig vi vill eller inte. Men i beviset av den så måste man använda sig av lorentztransformationen, och den ingår inte i gymnasiekursen. Jag tror man brukar visa att en längdkontraktion behövs, för att rörelse ekvationerna ska kunna fungera i båda referensramarna. Se detta exempel om myonernas halveringstid:

https://youtu.be/rVzDP8SMhPo?si=WR_vZfMMp3kqAMH9

I den jordbundne observatörens referensram förklaras observationen med hjälp av tidsdilatation. I den myounbundne observatörens referensram måste observationen förklaras med längdkontraktion.

JohanF skrev:

Men om längdkontraktion uppstår, då.. blir ju en uträkning av ovanstående beroende av det också? 

Jag uttryckte mig nog otydligt och formuleringen konstig. Det mäts ingen sträcka förutom tågets höjd, där det inte är någon längd kontraktion.

 

vart ifrån här får vi egentligen, vad säger man, incitamentet till att ens överväga längdkontraktion? Tidsdilatationen verkar ju räcka som förklaring menar jag.

I fermilabvideon om längdkontraktion så ser du att den uppstår vare sig vi vill eller inte. Men i beviset av den så måste man använda sig av lorentztransformationen, och den ingår inte i gymnasiekursen. Jag tror man brukar visa att en längdkontraktion behövs, för att rörelse ekvationerna ska kunna fungera i båda referensramarna. Se detta exempel om myonernas halveringstid:

https://youtu.be/rVzDP8SMhPo?si=WR_vZfMMp3kqAMH9

I den jordbundne observatörens referensram förklaras observationen med hjälp av tidsdilatation. I den myounbundne observatörens referensram måste observationen förklaras med längdkontraktion.

Tack så mycket för hjälpen Johan.

👍