Hur fortsätter man?

Så det gäller att bevisa att 6 är en delare för talet n⁵-n, där n är ett naturligt tal?

Dina uträkningar ser rimliga ut(även om jag bara skummat igenom fr.o.m. raden där du börjar stryka termer t.o.m. den näst sista raden) och jag vet själv inte hur man går vidare. Jag undrar därför: kan det vara att de i själva verket frågar om 5 är en delare? I sådant fall kan man lösa det, givet så långt som du kommit, och 5 är ju en delare då n=2 också.

Bedinsis skrev:

Så det gäller att bevisa att 6 är en delare för talet n⁵-n, där n är ett naturligt tal?

Dina uträkningar ser rimliga ut(även om jag bara skummat igenom fr.o.m. raden där du börjar stryka termer t.o.m. den näst sista raden) och jag vet själv inte hur man går vidare. Jag undrar därför: kan det vara att de i själva verket frågar om 5 är en delare? I sådant fall kan man lösa det, givet så långt som du kommit, och 5 är ju en delare då n=2 också.

Man kan alltså inte bevisa att $n^5$- n är delbart med 6?

Om uppgiften är att man ska bevisa att 6 är en delare så bör det vara en delare. Jag prövade precis att slå en hoper n-värden på kalkylatorn, och 6 verkar funka som delare. Så det bör gå att bevisa. Jag får återkomma.

Edit: Ur de fyra termerna som du inte kunnat bevisa att 6 är en delare till kan man bryta ut 5*k. 

$5*k+5*k^4+10*k^3+10*k^2=5*k*\left(1+k^3+2*k^2+2*k\right)$

Om man tittar på termerna innanför parentesen så inser man att vi har

$5*k*\left(1+k^3+2*k^2+2*k\right)=5*k*{\left(k+1\right)}^3$

Eftersom att antingen k eller k+1 är ett jämnt tal så innefattar ovanstående uträkning en multiplikation med talet 2. Kan man bara bevisa att faktorn 3 ingår så måste således 6 vara en delare.

Edit 2: Jag räknade fel ovan.

Om vi bara tittar på parentesuttrycket så kan man dela upp det:

$$\begin{gathered} 1+k^3+2*k^2+2*k= \\ 1+2*k+2*k^2+k^3= \\ 1+k+k+k^2+k^2+k^3= \\ \left(1+k\right)+\left(k+k^2\right)+\left(k^2+k^3\right)= \\ \left(1+k\right)+k*\left(1+k\right)+k^2*\left(1+k\right)= \\ \left(1+k\right)*\left(1+k+k^2\right) \end{gathered}$$

Så de sista termerna blir i själva verket:

$5*k*\left(1+k^3+2*k^2+2*k\right)=5*k*\left(1+k\right)*\left(1+k+k^2\right)$

Av faktorerna k och k+1 måste en av de vara jämn, så faktorn 2 ingår.

Det återstår att bevisa att faktorn 3 ingår, ty då ingår faktorn 2*3= 6.

Ibland är det effektivaste sättet att helt enkelt prova alla tal modulo X, om X är litet. Dvs. prova 0, 1, 2, 3, 4 och 5.

Laguna skrev:

Ibland är det effektivaste sättet att helt enkelt prova alla tal modulo X, om X är litet. Dvs. prova 0, 1, 2, 3, 4 och 5.

Jag förstår inte riktigt. Ska man visa att $n^5-n$ $\equiv 0 (mod 2)$ och sen fortsätta uppåt tills man kommer till 6?

Om jag fortsätter där jag slutade: det vill till att faktorn 3 förekommer i uttrycket:

$5*k*\left(1+k\right)*\left(1+k+k^2\right)$

dvs. att antingen 5, k, 1+k eller 1+k+k² är delbart med 3.

Nu är det dock som så att i och med att både k och k+1 är faktorer så ingår faktorn 3 definitivt om k är delbart med 3 eller om talet precis ett större än k är delbart med 3. Detta gör att det endast är vart tredje tal som inte garanterat är täckt av dessa två fallen. k= {4; 7; 10; 13; 16;...} behöver närmare undersökning.

Eftersom att varken k, k+1 eller 5 då är delbart med 3 är den enda lösningen att (1+k+k²) måste vara delbart med 3 för att faktorn 3 skall förekomma. Detta får man undersöka närmare för ovan nämnda k-värden.

(det kanske finns enklare sätt att lösa uppgiften på.)

bellisss skrev:

Laguna skrev:

Ibland är det effektivaste sättet att helt enkelt prova alla tal modulo X, om X är litet. Dvs. prova 0, 1, 2, 3, 4 och 5.

Jag förstår inte riktigt. Ska man visa att $n^5-n$ $\equiv 0 (mod 2)$ och sen fortsätta uppåt tills man kommer till 6?

Nej, X är 6 här. Prova alla värden på n.