Hur förstår ni differentialer som "dy" intuitivt?

Infinitesimalen $dx$ har dimensionen Längd och även en riktning, därmed är det enligt mig en faktisk sträcka i någon mån. Dock är det ingen kvantiferbar sträcka i den mening att summan av $M$ stycken efterföljande $dx$ aldrig kan uppnå t.ex. 1 längdenhet för något tal $M$. Det blir därmed även svårt att relatera längden av $M·dx$ med $dx$ på något sätt.

Hur ser din intuitiva tolkning ut? :)

Jag håller med till fullo om din uppfattning att $\mathrm{d}x$ är något som aldrig kan bli reellt, oavsett hur man försöker manipulera objektet algebraiskt. Det är väl egentligen det som är definitionen för en infinitesimal. Om man vill fylla tallinjen med infinitesimaler (och kanske oändligheter om man vill att det ska vara en kropp) så skulle man få ett "hopp" i tallinjen där man går från det infinitesimala till det reella. 

Men anser du att $\mathrm{d}x$ och liknande former är vektorer då?

Min uppfattning är kanske mer primitiv. Men för att förklara den vill jag tillägga lite bakgrund, där det antas att infinitesimaler har införts och existerar på tallinjen. Om vi skulle ha en icke-konstant kurva $y=y(x)$ och göra en infinitesimal förändring $\Delta x$ i den oberoende variabeln $x$, skulle detta leda till en motsvarande infinitesimal förändring i vår beroende variabel $\Delta y$. Vi kan då säga att:

$\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x} \approx \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$

I själva verket kommer skillnaden endast vara infinitesimal. Så om vi lägger till någon passande infinitesimal $\beta$ får vi:

$\displaystyle \beta+\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\iff \mathrm{d}y=\Delta y+\beta\mathrm{d}x$

Vår oberoende variabel $\Delta x = \mathrm{d}x$ eftersom förändringen i $x$ är lika stor för både tangenten och kurvan.

Så det vi ser här är att infinitesimala förändringen i $y$-led hos tangenten till den relevanta kurvan endast skiljer sig infinitesimalt mycket från den infinitesimala förändringen i $y$-led hos kurvan $y=y(x)$ vi tittade på. Så min tolkning är lite mer algebraisk, tror jag.

Så $\mathrm{d}y$ i detta fall är den infinitesimala förändringen hos tangenten till kurvan för en steglängd $\mathrm{d}x$, och den är infinitesimalt nära förändringen $\Delta y$ hos kurvan som tangeras.

Det kan tyckas vara trivialt men det tog som sagt ett bra tag tills jag klockade detta. Häftigt, faktiskt!

Den här tolkningen passar rätt bra också, för då definieras uttryck som $\mathrm{d}y/\mathrm{d}x$ faktiskt som kvoter som låter sig manipuleras på massvis av roliga sätt, exempelvis:

Låt $\displaystyle y=\arcsin x \iff x=\sin y$:

$\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{\mathrm{d}x/\mathrm{d}y}=\frac{1}{\cos y}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^{2}y}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

En annan väldig trevlig grej med den insikten är att det mejkar mycket sense var former som dessa kommer ifrån:

$\displaystyle \mathrm{d}y=f'(x)\mathrm{d}x$

Intressanta svar! Det märks att du lagt ned mycket tid på detta område :)

naytte skrev:

Den här tolkningen passar rätt bra också, för då definieras uttryck som $\mathrm{d}y/\mathrm{d}x$ faktiskt som kvoter som låter sig manipuleras på massvis av roliga sätt, exempelvis:

Låt $\displaystyle y=\arcsin x \iff x=\sin y$:

$\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{\mathrm{d}x/\mathrm{d}y}=\frac{1}{\cos y}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^{2}y}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Detta har jag aldrig tänkt på, ett helt nytt perspektiv för mig!

Gällande din fråga:

Men anser du att $dx$ och liknande former är vektorer då?

Ja, eftersom att $dx$ har ett belopp och riktning är det ju per definition en vektor. Dock blir det ingen "vanlig" vektor, utan en infinitesimal vektor. Finns det redan en sådan utvidgning på begreppet eller är det kanske någonting att kika vidare på...? :)

Finns det redan en sådan utvidgning på begreppet eller är det kanske någonting att kika vidare på...? :)

En intressant tolkning. Men hur rättfärdigar du saker som division med den tolkningen? Tycker du att man har någon norm då och tar normen av $\mathrm{d}x$ när man har en kvot som t.ex. $\mathrm{d}y/\mathrm{d}x$? Eller tycker du inte att det är en kvot?

Jag har nog aldrig sett den tolkningen tidigare! Men det verkar definitivt intressant. Om jag får tid över i mitt arbete ska jag utforska det.

Jag håller på att undersöka integraler just nu och huruvida "$\mathrm{d}x$:et" i integraler är samma $\mathrm{d}x$ som återfinns i integrering. Det verkar ju så med tanke på att:

$\displaystyle \mathrm{d}y=f'(x)\mathrm{d}x \iff y=f(x)$

Men det framstår som att $x$:et i argumentet till $f$ i uttryck som:

$\displaystyle \int_{}^{}f(x)\mathrm{d}x$

Är en "dummy variable" eller vad det nu heter. Den verkar inte fylla någon konkret funktion egentligen. Jag tror att det gömmer sig något djupare (som inte har med Riemannsummor att göra) bakom den notationen som jag inte fattar än.

Desstom är det logiskt på ett annat plan om vi blickar tillbaka till "kvotrepresentationen" av derivatan:

$\displaystyle \int_{}^{}f(x)\mathrm{d}x=\int_{{}}^{}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\mathrm{d}x =\int_{}^{}\mathrm{d}y=y$

Bara av att titta på det så verkar det som att vi summerar infinitesimala förändringar $\mathrm{d}y$ från tangenterna till varje (alltså oändligt många) punkt på $y=f(x)$. Men det känns som en, ursäkta språket, skitkonstig tolkning.

Ett möjligt synsätt nu när jag har fyllt på mina glykogenförråd och kan tänka lite bättre är rent "symboliskt", vi skulle kanske kunna tänka att symbolen:

$\displaystyle \int_{}^{}$

är en operator som tar en differential och gör om den till motsvarande reella objekt. Jag gillar inte riktigt Leibniz idéer om "Riemannintegrering"´, för då krävs det gränsvärden och de vill jag helst undvika så mycket som möjligt.

Jag tror jag fick till det ganska bra med infinitesimaler!!

Nu har jag lyckats få till integrering, bestämda integraler och analysens fundamentalsats. Yippie!