Hur får jag fram den andra funktionen

Vad säger facit? Jag förstår ej b-frågan.

Detta:

Jag är osäker varför wolfram inte ger dig båda lösningar i så fall. Du kan ta och be den att lösa problemet utan villkoret $y(0) = 1$ och sedan lösa ut de två fallen för hand. 

Mathematica tar inte heller fram den andra lösningen om man sätter in kravet... 

Hmmm… Får väl göra det. Står dock i boken att det ska gå med wolframAlpha. 

Råkade stöta på din uppgift när jag sökte på YouTube hur man jobbar med wolfram Alpha.

Lösning.

AlexMu skrev:

Jag är osäker varför wolfram inte ger dig båda lösningar i så fall. Du kan ta och be den att lösa problemet utan villkoret $y(0) = 1$ och sedan lösa ut de två fallen för hand. 

Mathematica tar inte heller fram den andra lösningen om man sätter in kravet... 

Intressant observation. Undra vad anledningen är. MMA gör sällan fel.

Två pannbiffar med lök senare... Nej, facit är fel! Den ena lösningen är endast def. för x≥2 och då ingår en BV y(0)=1. 

Dock kan diff.ekv. modifieras för att passa genom y'^2=y, men så var ej uppgiften.

Därmed lämnar MMA rätt svar. Det finns ingen andra lösning.

JA, så kan det mycket väl vara. Först och främst, vad betyder BV? Jag kollade på videon nedan och personen som har gjort den fick fram två funktioner. Förstår dock inte hur. Jag fick inte fram det med wolfram och det verkar som ni inte heller fick fram den via mathematica utan modifikation. Är slutsatsen fortfarande att det är fel i facit och videon?

ConnyN skrev:

Lösning.

Videons två funktioner

$$\begin{gathered} y\text{'}\left(x\right)=\sqrt{y\left(x\right)} \\ t=\sqrt{y} \\ {t}^2=y \\ 2t\frac{dt}{dx}=\frac{dy}{dx} \\ ⋮ \\ y\text{'}\left(x\right)=\sqrt{y\left(x\right)} \\ 2t\frac{dt}{dx}=t \\ t(2\frac{dt}{dx}-1)=0 \\ \frac{dt}{dx}=\frac{1}{2} \\ t=\frac{x}{2}+c=\frac{x+2c}{2}=\frac{x+k}{2} \\ \sqrt{y}=\frac{x+k}{2} \\ y= \frac{{(x+k)}^2}{4} \\ k=\pm 2 \\ ⋮ \\ {y}_1=\frac{{(x+2)}^2}{4} x\ge -2 \\ {y}_2=\frac{{(x-2)}^2}{4} x\ge 2 \end{gathered}$$

Båda duger separat men inte samtidigt. Eftersom -2<2.

Edit: y(0)=1 fungerar ej på y2. Tack för tipset!

Hejsan266 skrev:

JA, så kan det mycket väl vara. Först och främst, vad betyder BV? Jag kollade på videon nedan och personen som har gjort den fick fram två funktioner. Förstår dock inte hur. Jag fick inte fram det med wolfram och det verkar som ni inte heller fick fram den via mathematica utan modifikation. Är slutsatsen fortfarande att det är fel i facit och videon?

ConnyN skrev:

Lösning.

Videons två funktioner

BV = Begynnelsevillkor.

Mathematica svarar rätt. Boken har fel. Modifiera enl. nedan för att få MMA att räkna dit boken vill komma.

oneplusone2 skrev:

$$\begin{gathered} y\text{'}\left(x\right)=\sqrt{y\left(x\right)} \\ t=\sqrt{y} \\ {t}^2=y \\ 2t\frac{dt}{dx}=\frac{dy}{dx} \\ ⋮ \\ y\text{'}\left(x\right)=\sqrt{y\left(x\right)} \\ 2t\frac{dt}{dx}=t \\ t(2\frac{dt}{dx}-1)=0 \\ \frac{dt}{dx}=\frac{1}{2} \\ t=\frac{x}{2}+c=\frac{x+2c}{2}=\frac{x+k}{2} \\ \sqrt{y}=\frac{x+k}{2} \\ y= \frac{{(x+k)}^2}{4} \\ k=\pm 2 \\ ⋮ \\ {y}_1=\frac{{(x+2)}^2}{4} x\ge -2 \\ {y}_2=\frac{{(x-2)}^2}{4} x\ge 2 \end{gathered}$$

Båda duger separat men inte samtidigt. Eftersom -2<2

För din andra lösning, x≥2, kan du ej använda x=0 för BV och vi går runt i cirklar. Det finns endast en lösning.

Ett försök:

Antag wlog. $y : \mathbb{R} \to \mathbb{R}_{\geq 0}$. Låt $I \subseteq \mathbb{R}$ vara det maximala intervallet för vilket $y(x) \neq 0$ för alla $x \in I$. Löser vi för $y$ på $I$ ser man att $2 \sqrt{y} = x + C$ på $I=(-C,\infty)$, för något reellt tal $C$. Av maximalitet blir $y(x) = (x+C)^{2}/4$ för alla $x \in (-C, \infty)$, och därmed per definition $y(x)=0$ för alla $x \in (- \infty,-C]$.

Tillsammans med betingelsen $y(0)=1$ måste $C^{2}=4$, dvs. $C \in \{-2,2\}$. Två kandidater är möjliga:

1. $y(x)=(x-2)^{2}/4$, för $x > 2$, och $y(x)=0$, för $x \leq 2$.
2. $y(x)=(x+2)^{2}/4$, för $x>-2$, och $y(x)=0$, för $x \leq -2$.

Kontroll av lösning 1. Om $x \leq 2$ är $y(x)=0$, vilket strider mot att $y(0)=1$. Så detta är inte en lösning.

Kontroll av lösning 2. Om $x \leq -2$ är $y(x)=0$ vilket tillfredsställer ekvationen $y'(x)- \sqrt{y(x)}=0$. Å andra sidan, för $x>-2$ är dels $y(0)=1$, dels $y'(x)=(x-2)/2$ och dels $\sqrt{y(x)}=(x-2)/2$, så även här uppfyller $y$ ekvationen.

Svar: Den enda lösningen är $y(x)=(x+2)^{2}/4$, för $x >-2$, och $y(x)=0$, för $x \leq -2$. qed

Hejsan266 skrev:

JA, så kan det mycket väl vara. Först och främst, vad betyder BV? Jag kollade på videon nedan och personen som har gjort den fick fram två funktioner. Förstår dock inte hur. Jag fick inte fram det med wolfram och det verkar som ni inte heller fick fram den via mathematica utan modifikation. Är slutsatsen fortfarande att det är fel i facit och videon?

ConnyN skrev:

Lösning.

Videons två funktioner

Det ser ut som om de har misslyckats på något vis. Det blir bara ett svar. För att få deras andra svar så kan man byta tecken i inskrivningen till y' +y^(1/2)
Du har ju också fått bra svar och stöd för din beräkning.

Dåså. Då förstår jag. 

Darth Vader skrev:

Ett försök:

Antag wlog. $y : \mathbb{R} \to \mathbb{R}_{\geq 0}$. Låt $I \subseteq \mathbb{R}$ vara det maximala intervallet för vilket $y(x) \neq 0$ för alla $x \in I$. Löser vi för $y$ på $I$ ser man att $2 \sqrt{y} = x + C$ på $I=(-C,\infty)$, för något reellt tal $C$. Av maximalitet blir $y(x) = (x+C)^{2}/4$ för alla $x \in (-C, \infty)$, och därmed per definition $y(x)=0$ för alla $x \in (- \infty,-C]$.

Tillsammans med betingelsen $y(0)=1$ måste $C^{2}=4$, dvs. $C \in \{-2,2\}$. Två kandidater är möjliga:

1. $y(x)=(x-2)^{2}/4$, för $x > 2$, och $y(x)=0$, för $x \leq 2$.
2. $y(x)=(x+2)^{2}/4$, för $x>-2$, och $y(x)=0$, för $x \leq -2$.

---

Kontroll av lösning 1. Om $x \leq 2$ är $y(x)=0$, vilket strider mot att $y(0)=1$. Så detta är inte en lösning.

Kontroll av lösning 2. Om $x \leq -2$ är $y(x)=0$ vilket tillfredsställer ekvationen $y'(x)- \sqrt{y(x)}=0$. Å andra sidan, för $x>-2$ är dels $y(0)=1$, dels $y'(x)=(x-2)/2$ och dels $\sqrt{y(x)}=(x-2)/2$, så även här uppfyller $y$ ekvationen.

---

Svar: Den enda lösningen är $y(x)=(x+2)^{2}/4$, för $x >-2$, och $y(x)=0$, för $x \leq -2$. qed

Jag kanske feltolkar uppgiften (man ser ingen rubrik för avsnittet) men jag läste den som begynnelsevärdesproblem och då har man x≥0. (Men det är säkert feltolkat av mig...) Din funktion är ej en andragradsfunktion (endast styckvis), men där är så många fel med denna givna uppgift att vi enkelt kan avskriva den.